关于nondegenerate triangle of zero area的合理性及《A primer of infinitesimal analysis》相关示例的理解疑问

嘿，我太懂你看到这个概念时的懵圈感了——毕竟在我们学的标准欧几里得几何里，零面积的三角形必然是退化的（三个点共线），这简直是刻在脑子里的常识对吧？但约翰·贝尔这本书里的这个例子，其实是跳出了经典几何的框架，在**光滑无穷小分析（Smooth Infinitesimal Analysis, SIA）**的体系下讨论的，规则完全不一样。

我给你拆解一下核心逻辑：

• 首先，SIA这套理论里引入了特殊的无穷小量：这类无穷小量ε满足ε≠0，但ε²=0（或者任意两个无穷小量的乘积都是0）。这个设定是整个体系的核心，和我们平时接触的实数体系完全不同。
• 回到那个“非退化但零面积”的三角形：想象有一个三角形，其中两个顶点的间距是无穷小量ε，第三个顶点到这条边的高度是另一个无穷小量δ。按照三角形面积公式，面积是(1/2)εδ，但因为无穷小量的乘积为0，所以这个面积就是0。但关键是，这个三角形的三个点并不共线——因为高度δ≠0，第三个点不在另外两点的连线上，所以从几何退化性的定义（三点是否共线）来看，它是非退化的。
• 作者用这个例子的目的，其实是为了更自然地推导曲线下的面积：在SIA里，不需要用经典分析里的极限和黎曼求和，而是用这种“无穷小尺度下非退化但零面积”的图形去铺满曲线下方，直接用代数方法就能得到积分的结论，绕开了繁琐的极限过程。

至于怎么直观想象，你可以把它看成一种“临界状态”：这个三角形已经接近退化到三点共线，但还没完全到达那一步，只是因为尺度太小（无穷小级别），它的面积小到在SIA的规则里被判定为0，但从几何结构上，它依然保持着非退化的形态。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mike_bb