数域绝对伽罗瓦群特征与理想群特征的转化及相关问题咨询

我最近在研究数域伽罗瓦特征相关的内容，有几个问题想请教大家：

• 给定数域$F$，以及一个特征
  $$\chi :G_F =\operatorname{Gal}(\overline F/F)\rightarrow {\overline {\mathbf Q}}^\times,$$
  要怎么得到$F$的理想群上的特征呢？

• 特征的导子为$\mathfrak n$具体是什么意思？

我目前已经知道$\chi$可以分解通过某个有限伽罗瓦扩张$H/F$，自己有个猜测：是不是对$F$的素理想$\mathfrak p$，定义$\chi (\mathfrak p)= \chi (\operatorname{Frob}_\mathfrak p )$；而导子就是所有在$H$中分歧的素理想的乘积，而且这些分歧素理想对应的$\chi$值都是0？

另外还有个疑问：如果$F$是全实域，那么$H/F$是循环扩张，这是为什么呢？

非常感谢大家的帮助，也欢迎推荐相关的参考资料！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathemather