如何利用黎曼可积的上下和等价定义证明积分等于等距分割采样求和的极限

嗨，我来帮你拆解这个证明的思路，核心就是靠黎曼可积的「上下和相等」这个核心条件，把目标里的等距采样和夹在上下和之间，再用夹逼准则推导极限。

首先先明确已知条件和目标：

• 已知：函数$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$是黎曼可积的，根据定义，它的下积分（所有分割下和的上确界）等于上积分（所有分割上和的下确界），这个共同值就是$f$在$[a,b]$上的黎曼积分：
  $$\sup_P \left( \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) \inf_{[x_{k-1},x_k]} f(x) \right) = \inf_P \left( \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) \sup_{[x_{k-1},x_k]} f(x) \right) = \int_a^b f(x)dx$$
  这里的$\sup_P$和$\inf_P$是对$[a,b]$的所有可能分割取上确界和下确界。

• 要证的目标：
  $$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right)$$

第一步：定义等距分割，把采样和夹在上下和之间 #

我们先构造$[a,b]$的等距分割$P_n$：把区间分成$n$个长度相等的小区间，每个小区间的长度$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，第$k$个小区间为：
$$[x_{k-1}, x_k] = \left[a+\frac{(b-a)(k-1)}{n}, a+\frac{(b-a)k}{n}\right] \quad (k=1,2,...,n)$$

对于每个小区间$[x_{k-1},x_k]$，因为点$a+\frac{(b-a)k}{n}$是这个区间的右端点，必然属于该区间，所以函数值满足：
$$\inf_{[x_{k-1},x_k]} f(x) \leq f\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right) \leq \sup_{[x_{k-1},x_k]} f(x)$$

把这个不等式两边乘以$\Delta x$，再对$k$从1到$n$求和，就能得到：
$$\sum_{k=1}^n \Delta x \cdot \inf_{[x_{k-1},x_k]} f(x) \leq \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right) \leq \sum_{k=1}^n \Delta x \cdot \sup_{[x_{k-1},x_k]} f(x)$$

我们把左边的和记为等距分割$P_n$的下和$L(P_n, f)$，右边的和记为上和$U(P_n, f)$，中间的采样和记为$S_n$，那么式子可以简化为：
$$L(P_n, f) \leq S_n \leq U(P_n, f)$$

第二步：利用黎曼可积的性质，让上下和收敛到积分值 #

因为$f$是黎曼可积的，下积分等于上积分等于$\int_a^b f(x)dx$，接下来我们要证明：当$n \to \infty$时，$L(P_n, f)$和$U(P_n, f)$的极限都是这个积分值。

根据下积分的定义（所有下和的上确界），对于任意给定的$\epsilon > 0$，总能找到一个$N_1$，当$n > N_1$时，等距分割的下和$L(P_n, f)$会满足：
$$L(P_n, f) > \int_a^b f(x)dx - \epsilon$$

同理，根据上积分的定义（所有上和的下确界），存在$N_2$，当$n > N_2$时，等距分割的上和$U(P_n, f)$满足：
$$U(P_n, f) < \int_a^b f(x)dx + \epsilon$$

取$N = \max(N_1, N_2)$，当$n > N$时，上面两个不等式同时成立，代入之前的夹逼式就有：
$$\int_a^b f(x)dx - \epsilon < S_n < \int_a^b f(x)dx + \epsilon$$

根据极限的$\epsilon-N$定义，这就说明$\lim_{n \to \infty} S_n = \int_a^b f(x)dx$，也就是我们要证明的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Philip