关于利用弗罗伊登塔尔悬垂定理构造斯潘尼尔-怀特黑德范畴的若干疑问

我正在尝试理解斯潘尼尔-怀特黑德（Spanier-Whitehead）范畴的构造，以及弗罗伊登塔尔悬垂定理（Freudenthal Suspension Theorem，简称FST）在其中扮演的角色。

FST有很多种表述形式，但我认为用于构造SW范畴的是这一种：

设$X$和$Y$是带基点的CW复形，$n\geq0$。若$X$是$n$-连通的，且$\text{dim}(Y)\leq2n$，则约化悬垂函子$\Sigma$诱导的映射$[X,Y]\to[\Sigma X,\Sigma Y]$是双射。

对于有限带基点CW复形$X$和$Y$，我们有如下的阿贝尔群序列：
$$[\Sigma^2 X,\Sigma^2 Y]\to[\Sigma^3 X,\Sigma^3 Y]\to\cdots$$
这个序列的余极限是$[\Sigma^\infty X,\Sigma^\infty Y]$。

我特别想弄明白，弗罗伊登塔尔悬垂定理是如何推出：当$N$足够大时，群同态$$[\Sigma^N X,\Sigma ^N Y]\to[\Sigma^\infty X,\Sigma^\infty Y]$$是同构的。

我自己梳理了一些思路，但还有困惑：

• 对于每个带基点空间$X$，存在一个典范的保基点映射$X\to\Omega(\Sigma X)$。
• 对于带基点空间$X$和$Y$，存在一个典范的群同构$$[\Sigma X,Y]\to[X,\Omega Y]$$（不过我不太确定$[X,\Omega Y]$上的群结构是怎样的）。
• 把这个同构应用到$\Sigma^k X$和$\Sigma^{k+1} Y$上，我们得到同构$$[\Sigma^{{k+1}X,\Sigma}{k+1}Y]\to[\Sigma^k X,\Omega(\Sigma^{k+1}Y)]$$（$k\geq0$）。

然后好像是通过弗罗伊登塔尔悬垂定理得到同构$$[\Sigma^k X,\Sigma^k Y]\to[\Sigma^k X,\Omega(\Sigma^{{k+1}Y)]$$，进而推出同构$[\Sigma}k X,\Sigma^k Y]\to[\Sigma^{{k+1}X,\Sigma}{k+1}Y]$。我肯定遗漏了一些细节或者理解错了关键步骤，想知道：当$n$足够大时，同构$[\Sigma^n X,\Sigma^n Y]\to[\Sigma^{{n+1}X,\Sigma}{n+1}Y]$具体是怎么得到的？

另外，这个版本的FST主要来自Stanley Kochman的《Bordism, stable homotopy and Adams spectral sequences》中的推论3.2.3，但我找不到这本书，它在一些笔记里被引用但没有给出证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user829347