关于参数化最大值及最优解x*(t)的连续性问询
嘿，我来帮你捋一捋这个问题～你已经证明了$x^*(t)$是非递减的，现在想确认它是否连续对吧？咱们结合给定的条件一步步分析：
首先先明确已知前提：
- $f:[0,1]\times[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$是二阶连续可微的
- 对每个$t\in[0,1]$，$f(t,x)$在唯一的点$x^*(t)$处取得最大值
- 关键的单调性条件：如果$f(t,x)\geq f(t,x')$，那么对任意$t'>t$和$x>x'$，必有$f(t',x)>f(t',x')$
用反证法推导连续性
假设$x^(t)$在某个点$t_0\in(0,1)$处不连续，因为它是非递减的，所以只能是跳跃间断：即左极限$\lim_{t\rightarrow t_0-}x(t)=a < b=\lim_{t\rightarrow t_0+}x*(t)$。接下来咱们用给定条件推出矛盾：
- 对任意$t<t_0$，$x^(t)\leq a$，而$f(t,x^(t))$是$f(t,\cdot)$的最大值，因此$f(t,a)\leq f(t,x^*(t))$；
- 对任意$t>t_0$，$x^(t)\geq b$，同理$f(t,b)\leq f(t,x^(t))$；
情况1：假设$x^*(t_0)\leq a$
取$x=b > x*(t_0)$，$t'>t_0$。因为$x(t_0)$是$f(t_0,\cdot)$的最大值点，所以$f(t_0,x^(t_0))\geq f(t_0,b)$。根据单调性条件，这会推出$f(t',x*(t_0))>f(t',b)$。但这和$x(t')$是$f(t',\cdot)$的最大值点矛盾——因为$x^(t')\geq b$，所以$f(t',b)\leq f(t',x*(t'))$，但$f(t',x(t_0))>f(t',b)$意味着$x^(t')$不是最大值点，显然不对。
情况2：假设$x^*(t_0)\geq b$
取$x=a < x*(t_0)$，$t<t_0$。因为$x(t_0)$是$f(t_0,\cdot)$的最大值点，所以$f(t_0,x^(t_0))\geq f(t_0,a)$。根据单调性条件，会推出$f(t,x^(t_0))>f(t,a)$。但$f(t,a)\geq f(t,x*(t))$（因为$x(t)\leq a$且是最大值点），这就意味着$f(t,x*(t_0))>f(t,x(t))$，和$x^(t)$是$f(t,\cdot)$的最大值点矛盾。
情况3：假设$x^*(t_0)\in(a,b)$
取$t<t_0$，$x=x^(t_0) > x*(t)$。因为$x(t)$是$f(t,\cdot)$的最大值点，所以$f(t,x^(t))\geq f(t,x*(t_0))$。根据单调性条件，对任意$t'>t$，有$f(t',x(t))>f(t',x^(t_0))$。当$t'\rightarrow t_0+$时，$x(t')\geq b > x*(t_0)$，而$f(t',x(t'))$是最大值，所以$f(t',x^(t'))\geq f(t',x^(t_0))$。同时，由$f$的连续性，$\lim_{t'\rightarrow t_0+}f(t',x(t'))=f(t_0,x^(t_0))$，$\lim_{t'\rightarrow t_0+}f(t',x(t))=f(t_0,x^(t))\leq f(t_0,x*(t_0))$。但之前的推导得出$f(t',x(t))>f(t',x*(t_0))$，取极限后得到$f(t_0,x(t))\geq f(t_0,x*(t_0))$，结合$f(t_0,x(t))\leq f(t_0,x*(t_0))$，只能是$f(t_0,x(t))=f(t_0,x*(t_0))$，这和$x(t_0)$是唯一最大值点矛盾（因为$x^(t)\leq a < x^(t_0)$）。
端点处的连续性
对于端点$t=0$和$t=1$，可以用类似的逻辑推导：比如假设$t=0$的右极限大于$x*(0)$，会推出和最大值唯一性矛盾的结论；同理$t=1$的左极限必然等于$x*(1)$。
综上，$x^*(t)$不可能存在跳跃间断，而它本身是非递减的，所以一定是连续的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者robust
