关于开集U中满足d(x,∂U)>ε的点的ε邻域包含于U的证明问询

大家好，这个问题是从我之前的帖子衍生出来的。先明确一下相关定义：

设$U \subset \mathbb{R}^n$是一个非空开集，$\epsilon > 0$，定义集合：
$$ U_{\epsilon} := {x' \in U: d(x',\partial U) > \epsilon } $$
这里的距离函数定义为：$d(x',\partial U) := \inf{d(x',y): y \in \partial U }$，而$d(x',y) := |x'-y|$就是欧几里得距离。

我的问题是：如果$x \in U_{\epsilon}$，是否一定有$\epsilon$邻域$B_{\epsilon}(x) \subset U$？

我感觉答案应该是肯定的，但卡在证明过程中了，目前我推导出的部分如下：

我打算用反证法来证明。固定$x \in U_{\epsilon}$，假设存在某个点$y \in B_{\epsilon}(x) \cap U^{c$。因为$U$是开集，所以它的补集$U}c = \partial U \cup \overline{U}^c$，也就是说$y$要么属于边界$\partial U$，要么属于$\overline{U}$的补集。

第一种情况：如果$y \in \partial U$，我用三角不等式得到：
\begin{align*}
d(y,\partial U) &\geq d(x,\partial U) - d(x,y) > 0,
\end{align*}
最后一步的依据是，$x \in U_{\epsilon}$意味着$d(x,\partial U) > \epsilon$，而$y \in B_{\epsilon}(x)$意味着$d(x,y) < \epsilon$，所以两者的差肯定大于0。但这就矛盾了，因为$y \in \partial U$时，$d(y,\partial U)$应该等于0。

第二种情况：如果$y \in \overline{U}^c$，我知道此时$d(y,\partial U) > 0$（因为$\overline{U} = {z \in \mathbb{R}^n: d(z,U) = 0 }$），但到这里我就不知道该怎么继续推导来得到矛盾了，有没有大佬能帮我梳理一下这部分的思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leonidas