32阶域中非零非单位元的幂集求解问题

首先，我们先梳理已知条件：

• $F$是32阶域，即$|F|=32=2^5$，因此域的特征为2，任意元素$a \in F$都满足$a+a=0_F$，这点你已经正确推导了。
• $a$是$F$中**非零且不等于单位元$1_F$**的元素，我们需要确定所有正整数$n$对应的$a^n$构成的集合。

接下来我们一步步推导：

• 非零元素的总数与乘法性质：$F$共有32个元素，去掉零元$0_F$后，非零元素共31个。根据域的公理，非零元素相乘结果仍为非零元素（无零因子），且每个非零元素都有乘法逆元。
• 幂次的周期性：考虑$a$的幂次序列$a^1=a$，$a2=a \cdot a$，$a^3=a2 \cdot a$……由于非零元素只有31个，序列中必然存在重复元素。假设存在$m < n$使得$a^m=an$，两边同时乘以$a^{m$的逆元，可得$a}{n-m}=1_F$。我们把满足$a^k=1_F$的最小正整数$k$称为$a$的乘法周期。
• 周期的约束条件：31是质数，它的正因数只有1和31。如果假设$a$的周期$k < 31$，那么$k$只能是1，但$k=1$意味着$a^1=1_F$，即$a=1_F$，这与题目中$a \neq 1_F$的条件矛盾。因此$k$只能等于31。
• 幂集的范围：当$a$的乘法周期为31时，$a^1, a^2, \dots, a^{{31}=1_F$这31个幂次都是互不相同的元素（因为周期是最小的满足$a}k=1_F$的正整数，前面的幂次不会重复）。而$F$的非零元素恰好是31个，因此这些幂次完全覆盖了所有非零元素。

综上，${a^n \mid n \geq 1}$就是$F$中所有非零元素的集合，即$F \setminus {0_F}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Micheal Brozovic