含对数项的无穷级数能否表示为特殊函数的形式？
好问题！咱们来一步步拆解这个带对数项的级数，看看能不能把它和已知的特殊函数联系起来。
首先，你已经把不含对数的级数$G(z)$成功写成了$nF_n$型的广义超几何函数，这是非常关键的起点：
$$ G(z) = \sum{i = 0}^{\infty} \left(\frac{C}{C+i}\right)^n \frac{z^i}{i!} = n F_n(\underbrace{C, C, \dots, C}{n个}; \underbrace{C+1, C+1, \dots, C+1}_{n个}; z) $$
现在看带对数的$H(z)$，我们可以先观察对数项和前面的幂次项的关系：
$$\ln\left(\frac{C}{C+i}\right) = \frac{d}{dn}\left(\left(\frac{C}{C+i}\right)^n\right)$$
这个等式对任意$n>1$都成立，不管$n$是整数还是实数。
把这个关系代入$H(z)$，就能得到一个很直接的表达式：
$$ H(z) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{d}{dn}\left(\left(\frac{C}{C+i}\right)^n\right) \frac{z^i}{i!} = \frac{\partial}{\partial n} G(z) $$
也就是说，$H(z)$就是你找到的那个$_nF_n$广义超几何函数对参数$n$的偏导数。这本身就是一种特殊函数的表示形式——广义超几何函数的阶导数。
如果想要更具体的展开形式，我们还可以利用Digamma函数（$\psi$函数，Gamma函数的对数导数）来拆分对数项：
$$\ln\left(\frac{C}{C+i}\right) = \psi(C) - \psi(C+i)$$
代入$H(z)$后可以拆成两个级数的差：
$$ H(z) = \psi(C) G(z) - \sum_{i = 0}^{\infty} \psi(C+i) \left(\frac{C}{C+i}\right)^n \frac{z^i}{i!} $$
而Digamma函数又可以展开为$\psi(C+i) = \psi(C) + \sum_{k=0}^{i-1} \frac{1}{C+k}$，进一步交换求和顺序后，还能把第二个级数转化为$G(z)$的变体和调和项的组合，不过这会引入更多级数项。
另外，我们也可以用积分表示来转化$H(z)$：利用$\left(\frac{C}{C+i}\right)^n = \frac{1}{\Gamma(n)} \int_0^\infty t^{n-1} e^{-(C+i)t/C} dt$，代入后交换求和与积分（满足收敛条件时），可以把$H(z)$写成一个含指数函数和对数项的积分，这类积分通常可以用Meijer G函数或Fox H函数来表示——这两类函数是广义超几何函数的推广，能覆盖更多复杂的积分/级数形式。
总结一下：
- 最直接的表示是$H(z)$为你找到的$_nF_n$函数对$n$的偏导数；
- 也可以拆分为Digamma函数与广义超几何函数的组合；
- 如果需要更统一的特殊函数形式，Meijer G函数或Fox H函数可以胜任。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者CfourPiO
