极限求值过程错误分析问询

嘿，我来帮你拆解这个极限推导里的问题！先把你给出的推导过程贴出来：

$$
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \ln{x}&=\lim_{x \to \infty}\frac{\ln{x}}{x}\cdot x\
&=\lim_{x \to \infty}\frac{\ln{x}}{x}\cdot \lim_{x \to \infty} x\
&=\lim_{x \to \infty}\frac{(\ln{x})'}{x'}\cdot \lim_{x \to \infty} x\text{ [Using l'hopital]}\
&=\lim_{x \to \infty} 1/x \cdot \lim_{x \to \infty} x=\lim_{x \to \infty} 1/x\cdot x=1
\end{align*}
$$

这个推导结果明显有问题——我们都知道$\lim_{x \to \infty} \ln{x}$应该趋向于正无穷，错误主要出在这两个关键地方：

• 极限乘积法则误用：极限乘积法则$\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$成立的前提是两个极限都存在且为有限值。这里$\lim_{x \to \infty} x$是正无穷，属于极限不存在（非有限）的情况，所以直接把乘积拆成两个极限相乘的操作从一开始就不合法，这是最核心的错误。

• 不定式处理逻辑错误：虽然$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln{x}}{x}$确实可以用洛必达法则算出结果为0，但你要计算的是$0 \times \infty$型的不定式，这种类型的极限不能直接拆成两个极限相乘再计算，必须先转化为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的不定式再处理。但原推导的拆分步骤已经违反了极限运算法则，后续的计算自然也站不住脚。

正确的结论其实很直接：当$x$趋向于正无穷时，$\ln{x}$是单调递增且无界的函数，因此$\lim_{x \to \infty} \ln{x} = +\infty$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yes it's me