关于超几何函数的闭合形式及化简可能性的技术问询

嘿，很高兴看到你已经推导出这个积分的闭合形式了：
$$\int \frac{1}{(1+x+x²⁾n}dx=2^{2n-1}3{-n}(2x+1){}_2F_1\left(\frac12,n;\frac32;-\frac13(2x+1)^2\right) + C$$
（注：这里补充了积分常数C，因为不定积分结果需要包含它）

针对你问的“这个超几何函数能否化简”的问题，得分情况讨论：

• 当n是正整数时，超几何函数可以化简为初等函数
  因为当第二个参数n为正整数时，${}_2F_1\left(\frac12,n;\frac32;z\right)$是一个终止的超几何级数——级数的项数有限，不会无限展开。我们可以利用超几何函数的递推关系或者直接展开级数来化简。
  举个简单的例子，当n=1时：
  $${}_2F_1\left(\frac12,1;\frac32;-\frac13(2x+1)^2\right) = \frac{3}{2(2x+1)} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)$$
  代入原式后，结果就变成了我们熟悉的初等积分形式：
  $$\int \frac{1}{1+x+x^2}dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C$$
  完全符合预期。对于更大的正整数n，你可以通过递推公式（比如利用超几何函数的导数关系或者分式线性变换）逐步将其转化为有理函数与反正切函数的组合，最终得到完全初等的表达式。

• 当n不是整数时，通常无法化简为初等函数
  这时候超几何函数的级数是无限的，无法用有限个初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等）来表示。不过你可以尝试将其转化为其他类型的特殊函数（比如椭圆函数），但这本质上只是换了一种特殊函数的表示形式，算不上“化简”为初等函数。

总结一下：如果n是正整数，你的超几何函数完全可以化简为初等函数；如果n是分数或者实数，一般就只能保留超几何函数形式，或者用其他特殊函数替代了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user687285