验证递增函数像集的上确界是否等于原集合上确界的函数值

没问题，我来帮你梳理清楚这个结论的正确性，咱们一步步来：

首先明确核心问题：

设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是一个递增函数，$S$ 是 $\mathbb{R}$ 的非空子集，$s = \sup S$。请问 $f(s)$ 是否是集合 ${f(a) \mid a\in S}$ 的上确界？

你第一步的推导完全没问题：因为 $s$ 是 $S$ 的上确界，所以对任意 $a\in S$，都有 $a\leq s$；又因为 $f$ 是递增函数，必然有 $f(a)\leq f(s)$，这就说明 $f(s)$ 确实是像集 ${f(a) \mid a\in S}$ 的一个上界。但它不一定是最小上界（上确界），得分情况讨论：

情况1：$s \in S$ #

这时候 $f(s)$ 本身就在像集里，而它又是像集的上界——根据上确界的定义，集合里的最大元素就是它的上确界，所以这时候 $f(s)$ 肯定是像集的上确界，没毛病。

情况2：$s \notin S$ #

这时候结论就不一定成立了，咱们举个简单的反例就能看出来：

• 定义递增函数 $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \ 1, & x \geq 1 \end{cases}$
• 取集合 $S = (0,1)$，显然 $\sup S = 1 = s$，$f(s)=1$
• 但像集 ${f(a)\mid a\in S}$ 里全是0，它的上确界是0，和 $f(s)$ 完全不相等。

那什么时候在 $s\notin S$ 的情况下，$f(s)$ 能成为像集的上确界呢？答案是当 $f$ 在 $s$ 处左连续时：

• 左连续的定义是 $\lim_{x\to s^-} f(x) = f(s)$
• 因为 $s$ 是 $S$ 的上确界，我们总能找到一个序列 $a_n\in S$，让 $a_n$ 从左侧无限趋近于 $s$（比如利用确界的定义，对任意 $n$，取 $a_n \in (s-1/n, s) \cap S$，这个交集一定非空）
• 由于 $f$ 递增，序列 $f(a_n)$ 是递增的，且有上界 $f(s)$，所以它的极限就是 $\lim_{x\to s^-}f(x) = f(s)$
• 这时候，对任意小的 $\epsilon>0$，总能找到某个 $a_n$ 使得 $f(a_n) > f(s) - \epsilon$，结合之前的 $f(a_n)\leq f(s)$，就说明 $f(s)$ 是像集的最小上界，也就是上确界。

总结一下：

• 你证明的“$f(s)$ 是像集的上界”完全正确；
• 当 $s\in S$ 或者 $f$ 在 $s$ 处左连续时，$f(s)$ 是像集的上确界；
• 如果 $s\notin S$ 且 $f$ 在 $s$ 处不左连续，那 $f(s)$ 就不是像集的上确界，反例如上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lakshmi Anirudh Patibanda