关于各类曲线存在非恒常简单子曲线的若干技术问题问询

大家好，我最近在琢磨曲线相关的拓扑问题，有几个点卡壳了，想请教下社区里的各位大佬：

先说说背景：维基百科上的内接正方形问题条目提到，把正方形换成三角形的类似结论是成立的，但它没涉及任意闭平面曲线（包括非简单闭曲线）内接三角形的相关结果，我自己在网上也没找到这方面的研究。当然，如果闭平面曲线包含某个Jordan子曲线的话，这个结果就很 trivial 了，所以我一开始好奇是不是所有闭平面曲线都有Jordan子曲线，但找了半天既没找到证明也没找到反例。

最开始我一共提了五个问题，其中前两个——“非恒常闭平面曲线是否一定有非恒常Jordan子曲线”以及它在$\mathbb{R}^n$中的推广——已经被MoisheKohan在评论里指出反例了：比如图像是一个区间的非恒常闭曲线，就不满足这两个问题的结论。所以现在我把剩下三个未解决的问题，加上一个相关的新问题整理出来，按一般性从低到高排列：

修改后的闭欧氏曲线问题 #

对于非恒常闭欧氏曲线$\gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$（满足$\gamma(0) = \gamma(1)$），有没有一些非平凡的必要或充分条件，能保证存在一条非恒常简单闭子曲线$\gamma_{s} : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$，使得$Im(\gamma_{s}) \subseteq Im(\gamma)$且$\gamma_{s}(0) = \gamma_{s}(1)$？
举个例子：如果$\gamma$的 injective 点集有一个自稠密的子集，这是不是一个充分条件？

闭区间上的开欧氏曲线问题 #

设$\gamma : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$是任意欧氏路径，满足$\gamma(0) \neq \gamma(1)$。是否存在一条非恒常简单子曲线$\gamma_{s} : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$，使得$Im(\gamma_{s}) \subseteq Im(\gamma)$，且$\gamma_{s}(0) = \gamma(0)$、$\gamma_{s}(1) = \gamma(1)$？

一般欧氏曲线问题 #

设$I \subseteq \mathbb{R}$是任意区间，$\gamma : I \rightarrow \mathbb{R}^{n}$是任意非恒常欧氏曲线。是否存在一个区间$I_{s} \subseteq \mathbb{R}$，以及一条非恒常简单子曲线$\gamma_{s} : I_{s} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$，使得$Im(\gamma_{s}) \subseteq Im(\gamma)$？

一般拓扑空间中的曲线问题 #

和上面的一般欧氏曲线问题表述完全一致，只是把$\mathbb{R}^{n}$换成任意拓扑空间$X$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Evan X