复分析中两种链式法则的推导矛盾疑问

嘿，你的疑问其实是没搞清楚两个链式法则的适用范围差异，咱们一步步理清楚就明白了：

首先，你提到的第一个链式法则：
$$(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) f'(a)$$
这个公式有个关键前提——f在a点全纯，g在f(a)点全纯。只有当两个函数都是全纯函数时，这个复合函数的导数公式才成立，而且此时复合函数$g\circ f$也必然是全纯的。

而第二个Wirtinger导数的链式法则：
$$\frac{\partial g \circ f}{\partial z} = \left(\frac{\partial g}{\partial z} \circ f \right)\left(\frac{\partial f}{ \partial z}\right) + \left(\frac{\partial g}{\partial \bar z} \circ f \right)\left(\frac{\partial \bar f}{ \partial z}\right)$$
这是通用版本，不管f和g是不是全纯函数，只要它们是可微的复值函数，这个式子都能成立。

那你推导里的问题出在哪呢？你默认了$(g \circ f)' = \frac{\partial (g \circ f)}{\partial z}$，但这个等式只有当$g\circ f$是全纯函数的时候才成立！而$g\circ f$全纯的前提，正好是f和g都全纯——这时候：

• 因为f全纯，根据柯西-黎曼方程，$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$，所以$\frac{\partial \bar{f}}{\partial z} = \overline{\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}} = 0$；
• 同时g全纯，所以$\frac{\partial g}{\partial \bar{z}} = 0$；

这么一来，交叉项$\left(\frac{\partial g}{\partial \bar z} \circ f \right)\left(\frac{\partial \bar f}{ \partial z}\right)$自然就等于0了，这时候两个链式法则就完全一致了，根本不存在矛盾～

如果函数不全纯的话，第一个链式法则本来就不适用（因为非全纯函数的复导数不存在），这时候只能用第二个通用法则。举个简单例子：比如$f(z)=\bar{z}$（非全纯），$g(w)=\bar{w}$（非全纯），复合后$g\circ f(z)=z$，它的Wirtinger导数$\frac{\partial (g\circ f)}{\partial z}=1$。用第二个法则计算：
$\frac{\partial g}{\partial z}\circ f=0$，$\frac{\partial f}{\partial z}=0$；$\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\circ f=1$，$\frac{\partial \bar{f}}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial z}=1$，代入后就是$00 +11=1$，完全正确，这时候交叉项不为0，但因为f和g都不全纯，第一个链式法则根本用不了，所以也不存在矛盾。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leaves