关于ℚ²在不同度量下的完备性疑问及求解提示

问题描述 #

考虑度量空间$(\mathbb{Q^{2},d)$，其中$\mathbb{Q}2}= { (x,y) \mid x,y \in \mathbb{Q} }$，判断当$d$为以下哪种度量时，该空间是完备度量空间：

• A. 离散度量
• B. 欧几里得度量
• C. 曼哈顿（出租车）度量

我的疑问 #

我认为以上选项都不是完备度量空间。另外我觉得在离散度量空间中只有常数列是收敛的，这个理解对吗？希望有人能给我一些提示。

求解提示 #

别担心，咱们逐个来拆解分析：

• 离散度量的情况：你说离散度量里只有常数列收敛？其实可以再精准一点——在离散度量中，数列收敛当且仅当它最终是常数项（也就是从某一项开始，后面所有的项都完全相同）。那回到完备性的定义：所有柯西列都必须收敛。离散度量的定义是：若$x≠y$则$d(x,y)=1$，若$x=y$则$d(x,y)=0$。那柯西列的要求是：对任意$\epsilon>0$，存在正整数$N$，当$m,n>N$时，$d(x_m,x_n)<\epsilon$。如果取$\epsilon=1/2$，那当$m,n>N$时必须有$x_m=x_n$，也就是说这个柯西列从第$N+1$项开始就都是同一个常数了，那它自然收敛到这个常数。所以离散度量下的$(\mathbb{Q^2},d)$是完备的哦！
• 欧几里得度量与曼哈顿度量的情况：这两个度量下，$\mathbb{Q^{2}$是$\mathbb{R}2}$的子空间。我们可以轻松找到一个柯西列，但它的极限不在$\mathbb{Q^{2}$中。比如取数列$((1+1/n)}n, 0)$，这个数列的每一项都属于$\mathbb{Q^{2}$（因为$(1+1/n)}n$是有理数），但它在这两种度量下都会收敛到$(e,0)$，而$e$是无理数，所以这个柯西列在$\mathbb{Q^2}$中找不到收敛的极限，因此这两个度量下的空间是不完备的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ALMEra