关于双条件证明的求助（数论基础不等式）

嗨，别担心，这个正向推导其实没那么复杂，我们来一步步理清楚！

首先明确我们的目标：已知x、y都是正实数，且( x \leq y )，要推出( x^3 \leq y^3 )，本质上就是要证明( y^3 - x^3 \geq 0 )。

你刚才展开得到的式子( 0 \leq -x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 )，其实就是( (y - x)^3 )的展开式哦！我们可以验证一下：

(y - x)^3 = y^3 - 3xy^2 + 3x^2y - x^3

现在看已知条件：因为x和y都是正实数，且( x \leq y )，所以( y - x \geq 0 )。一个非负数的立方必然还是非负数，也就是( (y - x)^3 \geq 0 )，这不就直接得到( y^3 - x^3 \geq 0 )，也就是( x^3 \leq y^3 )了嘛！

另外还有一种更通用的思路，就是对( y^3 - x^3 )做因式分解：

y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2)

因为x、y都是正实数，所以( y^2 + xy + x^2 )肯定是正数（三个正数相加，结果不可能为负）。而我们已经知道( y - x \geq 0 )，正数乘以非负数的结果还是非负数，所以( (y - x)(y^2 + xy + x^2) \geq 0 )，同样能得出( y^3 - x^3 \geq 0 )的结论。

两种方法都能轻松搞定这个正向推导，选你觉得更顺手的就行～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Turing