关于实数集可数无穷元组的基数及无穷集递推构造的疑问

最近啃鲁丁的《数学分析原理》，看到几个关于集合基数的定理后，冒出了一堆疑问，想请教下大家：

我的核心问题是：

$|\mathbb{R}^{\infty}| =|\mathbb{R}|$ 成立吗？

先说说我读到的定理和思考的起点：

定理2.13 设$A$是可数集，$B_n$是所有$n$元组$(a_1,...,a_n)$构成的集合，其中每个$a_k \in A$（元素允许重复），则$B_n$是可数集。

但有意思的是，如果把$B$换成可数无穷元组构成的集合（元素来自可数集），那$B$就不是可数集了——实际上它的基数等于$|\mathbb{R}|$，这正好对应书中的定理2.14：

定理2.14 设$A$是所有由0和1组成的无穷序列构成的集合，则$A$是不可数集，且$|A|=|\mathbb{R}|$。

看到这里我就开始发散思考了：

• 既然实数集的任意$n$元组集合的基数都等于$\mathbb{R}$的基数（比如复数集$\mathbb{C}$就是二元实数组，$|\mathbb{C}|=|\mathbb{R}|$），那实数集的可数无穷元组构成的集合$\mathbb{R}^{\infty}$，它的基数是等于$|\mathbb{R}|$，还是比$|\mathbb{R}|$更大？
• 如果它的基数确实更大，那是不是可以通过这种“构造前一个集合的可数无穷元组集合”的方式，不断生成基数更大的无穷集？举个例子：
  • 把可数集（比如自然数集$\mathbb{N}$）记为$S_1$，它的可数无穷元组集合记为$S_2$，则$|S_2|=|\mathbb{R}|>|S_1|$
  • 再构造$S_2$的可数无穷元组集合$S_3$，则$|S_3|>|S_2|$
  • 以此类推，就能不断得到基数越来越大的无穷集合？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie