关于素数计数函数相关差值f(n)的上界证明及常数性推导问询

各位好，我目前正在尝试对以下差值函数进行界的估计：
$$f(n)=\pi\left(\frac{n}{p_{\pi(\sqrt{n})}}\right) - \pi\left(\sqrt{n}\right)$$
这里的$\pi(x)$是素数计数函数，$p_{\pi(\sqrt{n})}$是小于$\sqrt{n}$的最大素数。

这个函数的下界很明显是0，而上界应该非常小——因为这个差值统计的是所有满足$p_{\pi(\sqrt{n})} \cdot p_j \leq n$的、大于$\sqrt{n}$的素数$p_j$的数量。我目前找到的两个局部最大值出现在$n=11^{2-1=120$和$n=127}2-1=16128$时，此时$f(n)=3$。

基于$\frac{\left(\sqrt{p_{\pi(\sqrt{n})+1}^2-1}\right)-p_{\pi(\sqrt{n})}}{p_{\pi(\sqrt{n})}}$这个相对差值会随着n增大而越来越小的事实，我猜想这两个值就是全局最大值，但既不确定这个猜想是否正确，也不知道该如何证明它。如果有任何思路或提示，我都会非常感激！

补充编辑 #

根据@rtybase的评论，Dusart在文献[1]中证明了：对于所有整数$n\geq 688383$，有
$$n\left(\log n + \log\log n - 1+\frac{\log\log n -2.1}{\log n}\right)<p_n<n\left(\log n + \log\log n - 1+\frac{\log\log n -2}{\log n}\right)$$

另外，Dusart在文献[2]中证明了：对于所有整数$x\geq 2953652287$，有
$$\frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{\log^2x}\right)\le\pi(x)\le\frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2.334}{\log^2x}\right)$$

既然我们已经知道$f(n)$的下界是0，接下来只需要专注于推导尽可能紧的上界。

首先应用Dusart关于$p_n$的界，我们可以得到：
$$f(n)<\pi\left(\frac{n}{\sqrt{n}\left(\log \sqrt{n} + \log\log \sqrt{n} - 1+\frac{\log\log \sqrt{n} -2}{\log \sqrt{n}}\right)}\right) - \pi\left(\sqrt{n}\right)$$

化简后得到：
$$f(n)<\pi\left(\frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n} + \log\log \sqrt{n} - 1+\frac{\log\log \sqrt{n} -2}{\log \sqrt{n}}}\right) - \pi\left(\sqrt{n}\right)$$

再应用Dusart关于$\pi(n)$的界，进一步展开得到：
$$f(n)<\frac{\frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n} + \log\log \sqrt{n} - 1+\frac{\log\log \sqrt{n} -2}{\log \sqrt{n}}}}{\log \frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n} + \log\log \sqrt{n} - 1+\frac{\log\log \sqrt{n} -2}{\log \sqrt{n}}}}\left(1+\frac{1}{\log \frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n} + \log\log \sqrt{n} - 1+\frac{\log\log \sqrt{n} -2}{\log \sqrt{n}}}}+\frac{2.334}{\left(\log \frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n} + \log\log \sqrt{n} - 1+\frac{\log\log \sqrt{n} -2}{\log \sqrt{n}}}\right)^2}\right)-\frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\log \sqrt{n}}+\frac{2}{\log^2\sqrt{n}}\right)$$

我们可以将其重新整理为：
$$f(n)<\frac{\sqrt{n} \cdot \frac{\log\sqrt{n}}{(1 + \log\sqrt{n}) (-2 + \log(\sqrt{n}) + \sqrt{n} \log(\log(n)))}}{\log \sqrt{n} +\log\left(\frac{\log\sqrt{n}}{(1 + \log\sqrt{n}) (-2 + \log(\sqrt{n}) + \sqrt{n} \log(\log(n)))}\right)}\left(1+\frac{1}{\log \sqrt{n} +\log\left(\frac{\log\sqrt{n}}{(1 + \log\sqrt{n}) (-2 + \log(\sqrt{n}) + \sqrt{n} \log(\log(n)))}\right)}+\frac{2.334}{\left(\log \sqrt{n} +\log\left(\frac{\log\sqrt{n}}{(1 + \log\sqrt{n}) (-2 + \log(\sqrt{n}) + \sqrt{n} \log(\log(n)))}\right)\right)^2}\right)-\frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\log \sqrt{n}}+\frac{2}{\log^2\sqrt{n}}\right)$$

现在的问题是，从这个表达式出发，我们能否进一步推导出$f(n)$小于某个常数$C$？

参考文献 #

• [1] P. Dusart, Explicit estimates of some functions over primes, Ramanujan J. 45 (2018), no. 1, 227–251.
• [2] Pierre Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H. (2010)

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Juan Moreno