验证随机变量函数$Y = \frac{X}{X + 1}$的PMF求解方法是否正确

嘿，你的思路完全没问题，推导过程是正确的！咱们来仔细捋一遍，确认每一步都站得住脚：

首先，已知随机变量$X$的PMF为：
$$f_X(x) = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^x \quad \text{for } x \in \mathbb{N}$$
这是一个从自然数0开始的几何分布（参数为$\frac{1}{3}$），定义没问题。

接下来你对$Y$的PMF推导逻辑很清晰：

1. 从事件$Y=y$出发，代入$Y=\frac{X}{X+1}$，得到$\frac{X}{X+1}=y$；
2. 解这个方程求$X$，通过代数变形可得$X=\frac{y}{1-y}$——这一步计算完全正确，咱们再核对一遍：
   $$
   y = \frac{x}{x+1} \implies y(x+1)=x \implies yx + y = x \implies x(1-y)=y \implies x=\frac{y}{1-y}
   $$
3. 因为$X$只能取自然数，所以只有当$\frac{y}{1-y}$是自然数时，$Y$才会取到这个$y$值，此时$P_Y(y)$就等于$X$取到$\frac{y}{1-y}$时的概率，也就是：
   $$
   P_Y(y) = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{y}{1-y}}
   $$

为了更直观，咱们可以举几个具体例子验证：

• 当$x=0$时，$y=\frac{0}{0+1}=0$，此时$P_Y(0)=f_X(0)=\frac{1}{3}$，代入公式计算结果一致；
• 当$x=1$时，$y=\frac{1}{2}$，此时$P_Y(\frac{1}{2})=f_X(1)=\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，公式代入$\frac{y}{1-y}=1$，结果完全匹配；
• 当$x=2$时，$y=\frac{2}{3}$，$P_Y(\frac{2}{3})=f_X(2)=\frac{1}{3}\times(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{27}$，公式计算同样正确。

总的来说，你的推导逻辑严谨，步骤正确，完全没问题👍

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1215740