关于满足G(2↑↑n) > TREE(3)的n值的技术问询

TREE(3)是一个大到需要用序数算术才能证明其有限性的极端大数。我一直好奇：要取多大的n才能让G(n) > TREE(3)？ 这里的G(n)是Goodstein序列的长度——也就是从n开始生成序列直到到达0所经历的数字个数。证明所有n对应的G(n)都是有限的同样需要序数算术，而我对Goodstein序列更为熟悉。

已知的Goodstein序列相关结论 #

• 当n≥8时，需要用一个递减的ω^ω+1序数序列来描述Goodstein序列，且G(12)已经大于葛立恒数。
• 当n≥16时，序列需要从ω^ω^ω迭代开始，这样的大数就算用葛立恒数级别的迭代都难以想象。
• G(65536)则需要ω↑↑4级别的迭代。

我的核心问题是：要取多大的n，才能让G(2↑↑n) > TREE(3)？ 我选择2↑↑n这种表示法，是因为如果直接用G(n) > TREE(3)，n的取值可能会大到离谱。

我自己做了一些调研，找到了关于TREE(3)大小的专业讨论，里面给出了TREE(3)的下界，不过我还在消化这些内容。如果能给出一个下界形式的部分答案，我也会非常感激！另外我还找到了一个关于Kruskal弱树函数下界的相关讨论，结合维基百科上的TREE(3)条目，或许能为这个问题的下界提供线索。

补充编辑：通过快速增长层级（Fast-growing hierarchy）以及另一个关于Tree(n)的专业讨论，我找到了一个可能的答案方向。先把Goodstein序列用快速增长层级精确表示出来（希望我的符号是正确的）：

• G(4) = f₃(3) - 2
• G(8) = f_{ω+1}(3) - 2
• G(16) = f_{ω^ω}(3) - 2
• G(2↑↑n) = f_{ω↑↑(n-1)}(3) - 2

另外，关于TREE(3)的讨论中给出了这样的不等式：

TREE(3) ≥ H_{ϑ(Ω^ω, 0)}(n(4))

我知道快速增长层级可以用Hardy的H函数来表示，但我不太理解不等式里的Ω^ω符号。看起来这意味着需要更多层的对角化，甚至有可能无论n取多大（哪怕是能写出来的数），TREE(3)都大于G(2↑↑n)？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sheldon L