关于证明存在c∈(0,1)使∫₀^c xf(x)dx=0的推导步骤疑问
问题背景
给定连续函数$f: [0,1] \to \mathbb{R}$满足$\int_0^1 f(x)dx = 0$，需要证明存在$c∈(0,1)$，使得$\int_0^c xf(x)dx = 0$。
找到的解法思路
我看到了一个解法，逻辑是这样的：
令$G(x) = \int_{0}^{x} t f(t) , \mathrm{d}t$，假设对所有$c∈(0,1)$都有$G(c)≠0$，根据介值定理，要么
- 情况1：$G(x) > 0$在$(0,1)$上恒成立，要么
- 情况2：$G(x) < 0$在$(0,1)$上恒成立。
但接下来有这么一串推导：
$$
0
= \int_{0}^{1} f(x) , \mathrm{d}x
= \int_{0}^{1} \frac{G'(x)}{x} , \mathrm{d}x
= G(1) + \int_{0}^{1} \frac{G(x)}{x^2} , \mathrm{d}x
$$
这在情况1下会大于0，情况2下会小于0，产生矛盾，从而反证出存在符合条件的$c$。
我的疑问
我搞不懂的是，最后这个等式$0= G(1) + \int_{0}^{1} \frac{G(x)}{x^2} \mathrm{d}x$是怎么推导出来的？
步骤拆解与解释
其实这一步用的是分部积分法，咱们一步步拆开来理清楚：
首先明确$G(x)$的导数：因为$G(x) = \int_{0}^{x} t f(t) dt$，根据变上限积分求导法则，$G'(x) = x f(x)$，所以$f(x) = \frac{G'(x)}{x}$，这部分解法里已经点明了，没问题。
接下来处理积分$\int_{0}^{1} \frac{G'(x)}{x} dx$，用分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，咱们选：
- $u = \frac{1}{x}$，那么$du = -\frac{1}{x^2} dx$
- $dv = G'(x) dx$，那么$v = G(x)$
代入分部积分公式后，得到：
$$
\int_{0}^{1} \frac{G'(x)}{x} dx = \left. \frac{G(x)}{x} \right|{0}^{1} - \int{0}^{1} G(x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx
$$计算边界项$\left. \frac{G(x)}{x} \right|_{0}^{1}$：
- 当$x=1$时，就是$\frac{G(1)}{1} = G(1)$
- 当$x\to0^+$时，$\frac{G(x)}{x}$的极限是多少？因为$G(x) = \int_0^x t f(t) dt$，分子分母都趋于0，用洛必达法则，极限为$\lim_{x\to0^+} \frac{G'(x)}{1} = \lim_{x\to0^+} x f(x) = 0$（毕竟$f$是连续函数，$x$趋近于0时，$x f(x)$自然趋近于0），所以边界项在0处的值是0。
- 所以边界项整体就是$G(1) - 0 = G(1)$
处理积分项：负负得正，后面的积分变成$+ \int_{0}^{1} \frac{G(x)}{x^2} dx$
把这两部分合起来，就得到：
$$
\int_{0}^{1} \frac{G'(x)}{x} dx = G(1) + \int_{0}^{1} \frac{G(x)}{x^2} dx
$$
再结合前面已知的$\int_0^1 f(x)dx = 0$，以及$\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 \frac{G'(x)}{x}dx$，自然就推导出了$0= G(1) + \int_{0}^{1} \frac{G(x)}{x^2} \mathrm{d}x$啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者zaemon_23
