定积分近似值求解及区间判断技术问询
我现在需要求解这个定积分的取值区间：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{8\sin x-\sin2x}{x}dx
$$
可选的区间选项：
- $(a) \frac{\pi}{2} <I< \frac{3\pi}{4}$
- $(b) \frac{\pi}{5}<I<\frac{5\pi}{12}$
- $(c) \frac{5\pi}{12}<I<\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$
- $(d) \frac{3\pi}{4}<I<\pi$
我的尝试过程
方法一：含参积分求导
我先把积分改成含参形式（令$a=2$）：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{8\sin x-\sin ax}{x}dx
$$
对参数$a$求导后化简：
$$
\frac{dI}{da} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} -\frac{x\cos(ax)}{x} dx
$$
$$
\frac{dI}{da}= -\frac{1}{a}\left[\sin \left(\frac{\pi}{3}a\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}a\right)\right]
$$
不过到这一步后，我还没理清如何继续推导得到$I$的取值区间。
方法二：麦克劳林展开近似
我尝试用麦克劳林级数展开$\sin x$和$\sin2x$：
$$
\sin x=x-\frac{x3}{3!}+\frac{x5}{5!}+\dots
$$
$$
\sin 2x=2x-\frac{(2x)3}{3!}+\frac{(2x)5}{5!}+\dots
$$
把展开式代入积分式子并化简：
$$
I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{8\left(x-\frac{x3}{3!}+\frac{x5}{5!}+\dots\right)-\left(2x-\frac{(2x)3}{3!}+\frac{(2x)5}{5!}+\dots\right)}{x}dx
$$
$$
I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left[8\left(1-\frac{x2}{3!}+\frac{x4}{5!}+\dots\right)-\left(2-\frac{(2)3x2}{3!}+\frac{(2)5x4}{5!}+\dots\right)\right]dx
$$
但这个展开式的近似计算太繁琐了，有没有更简洁的方法来判断$I$的取值区间呢？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Divyam samarwal
