多元分析中函数f与G的连续性、可微性关联证明的技术问询

你提的思路方向完全正确，咱们一步步拆解这两个方向的证明，把你疑惑的点逐个打通：

第一部分：由G的连续性+G(·,0)线性，推导f的性质 #

1. 证明f处处连续 #

你的想法没错，用连续性定义可以，但其实有更直接的方式：
注意到对任意$x \in \mathbb{R}^n$，当$t=1$时，$G(x,1) = \frac{f(x \cdot 1)}{1} = f(x)$。
因为$G: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$是全局连续的，那么固定$t=1$后，映射$x \mapsto G(x,1)$（也就是$f(x)$）作为连续函数的"截面"，自然也是连续的——这就直接证明了$f$在$\mathbb{R}^n$上处处连续，比用$\epsilon-\delta$定义写起来更简洁。

2. 证明f在0处可微，且$G(x,0) = Df(0)(x)$ #

这里确实要用到可微性的定义，同时结合$G(·,0)$的线性性：
首先，设$L(x) = G(x,0)$，题目说$L$是线性映射，我们要验证$L$就是$f$在0处的导数，即证明：
$$\lim_{h \to 0} \frac{|f(h) - L(h)|}{|h|} = 0$$

当$h \neq 0$时，令$t = |h|$，则$h = t \cdot \frac{h}{|h|}$（这里$\frac{h}{|h|}$是单位向量，记为$u_h$），代入$f$的表达式：
$$f(h) = f(t u_h) = t \cdot G(u_h, t)$$
而由于$L$是线性的，$L(h) = L(t u_h) = t \cdot L(u_h) = t \cdot G(u_h, 0)$。

把这两个式子代入极限式，得到：
$$\frac{|f(h) - L(h)|}{|h|} = \frac{|t G(u_h, t) - t G(u_h, 0)|}{t} = |G(u_h, t) - G(u_h, 0)|$$

因为$G$是连续的，当$h \to 0$时，$t = |h| \to 0$，而$u_h$是单位向量（有界），所以$(u_h, t) \to (u_h, 0)$，因此$G(u_h, t) \to G(u_h, 0)$，上面的差的范数趋于0。这就证明了$f$在0处可微，且$Df(0) = L = G(·,0)$。

第二部分：由f处处连续+在0处可微，推导G的连续性 #

你的思路对，核心就是证明$G$在$(x,0)$这类点处的连续性（$t \neq 0$时，$G(x,t) = \frac{f(xt)}{t}$，由$f$的连续性和$t \neq 0$时的除法连续性，直接可得$G$在这些点连续）。

证明G在任意$(x_0, 0)$处连续 #

根据连续性定义，对任意$\epsilon > 0$，我们要找$\delta > 0$，当$|(x,t) - (x_0, 0)| < \delta$时，$|G(x,t) - G(x_0,0)| < \epsilon$。

首先，利用$f$在0处的可微性：存在$\delta_1 > 0$，当$|h| < \delta_1$时，
$$|f(h) - Df(0)(h)| \leq \frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} |h|$$
同时，线性映射$Df(0)$满足有界性：存在$M > 0$，对任意$v \in \mathbb{R}^n$，$|Df(0)(v)| \leq M|v|$。

接下来，拆分$G(x,t) - G(x_0,0)$（$t \neq 0$时）：
$$
\begin{align*}
G(x,t) - G(x_0,0) &= \frac{f(xt)}{t} - Df(0)(x_0) \
&= \frac{f(xt) - Df(0)(xt)}{t} + Df(0)(x) - Df(0)(x_0)
\end{align*}
$$
（这里用到了线性映射的性质：$\frac{Df(0)(xt)}{t} = Df(0)(x)$）

现在取$\delta = \min\left(\frac{\delta_1}{|x_0| + 1}, 1, \frac{\epsilon}{2M}\right)$，当$|x - x_0| < \delta$且$|t| < \delta$时：

1. $|xt| \leq |x| |t| \leq (|x_0| + \delta)|t| < (|x_0| + 1)\delta < \delta_1$，因此：
   $$\left| \frac{f(xt) - Df(0)(xt)}{t} \right| \leq \frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} \cdot |x| \leq \frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} \cdot (|x_0| + 1) = \frac{\epsilon}{2}$$
2. $|Df(0)(x - x_0)| \leq M|x - x_0| < M \cdot \frac{\epsilon}{2M} = \frac{\epsilon}{2}$

把两部分加起来，$|G(x,t) - G(x_0,0)| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$，满足连续性定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Penelope