关于浸入到ℝⁿ⁺¹的超曲面单位法向量定义中提及局部嵌入的疑问

以下是Carlo Mantegazza《Mean Curvature Flow》讲义1.1节的几段内容：

In this section, we introduce some basic notation and facts about Riemannian manifolds and their submanifolds. A good reference is Riemannian geometry (Gallot, Hulin, and Lafontaine).

... (部分段落省略)

The main objects we will consider are $n$-dimensional, complete hypersurfaces immersed $\mathbb{R}^{n+1}$, that is, pairs $(M,\phi)$ where $M$ is an $n$-dimensional, smooth manifold with empty boundary and $\phi:M\to\mathbb{R}^{n+1}$ is a smooth immersion (the rank of the differential $\mathrm{d}\phi$ is equal to $n$ everywhere on $M$).

...

Since $\phi$ is locally an embedding in $\mathbb{R}^{n+1}$, at every point $p\in M$ we can define up to a sign a unit normal vector $\nu(p)$. Locally, we can always choose $\nu$ to be smooth.

If the hypersurface $M$ is compact and embedded, that is, the map $\phi$ is one-to-one, the inside of $M$ is easily defined and we will consider $\nu$ to be the inner pointing unit normal vector at every point of $M$. In this case the vector field $\nu:M\to\mathbb{R}^{n+1}$ is globally smooth.

提问者补充：我并不常用推荐的GHL教材，我的黎曼几何知识主要来自John M. Lee的《Introduction to Riemannian Manifolds》，但两者对于我们要讨论的内容都适用。另外我想提醒大家，虽然Mantegazza说要考虑浸入到$\mathbb{R}^{{n+1}$的超曲面，但$M$本身可能不是$\mathbb{R}}{n+1}$的子集，我猜这是通过$\phi$把$M$视为$\mathbb{R}^{n+1}$中超曲面的一种表述方式。

我的问题是：为什么Mantegazza在定义$p\in M$处的单位法向量$\nu(p)$时，要指出$\phi$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的局部嵌入？根据我所学的知识，我们其实不需要$p$附近是嵌入就能定义单位法向量。$\phi$是浸入的事实保证了$\mathrm{d}\phi_p$是单射线性变换，所以$\mathrm{d}\phi_p(T_p M)$是$n$维线性子空间，从而它的正交补$(\mathrm{d}\phi_p(T_p M))^\perp$是1维的。把正交补基向量单位化再取正负，就能得到两个单位法向量，对吧？为什么我们需要提到局部嵌入？这一点的意义是什么？谢谢。

编辑：我知道$\phi$是局部嵌入是每个浸入都具备的性质。我的问题其实是作者为什么要在定义单位法向量的时候提到这一点。

嗨，这个问题问得特别到位！你说得完全没错——从纯线性代数的层面看，只要$\phi$是浸入，$\mathrm{d}\phi_p(T_p M)$就是$\mathbb{R}^{n+1}$里的$n$维子空间，它的正交补天然是1维的，直接就能得到两个单位法向量的选择，根本不需要用到局部嵌入的性质。那作者为什么要特意在这里提这一点呢？我觉得主要有这几个原因：

• 贴合几何直观，降低理解门槛：
  虽然代数上没问题，但局部嵌入意味着在$p$的某个邻域内，$\phi$把$M$的一小块“无重叠”地嵌入到了$\mathbb{R}^{{n+1}$里，这时候我们可以把这一小块直接当成$\mathbb{R}}{n+1}$的子集——也就是我们日常能想象到的“曲面片”。对于初学者来说，这种直观的几何图像比抽象的浸入映射更容易理解“法向量”的本质：它就是垂直于这个局部曲面片的向量，而不是垂直于某个抽象切空间的线性像。作者可能是想先从读者熟悉的几何直觉入手，而不是一开始就钻进纯代数的定义里。

• 为后续构造光滑法向量场做铺垫：
  你也注意到了，作者紧接着提到“局部总能选择光滑的$\nu$”。虽然浸入本身也能保证局部光滑法向量场的存在，但局部嵌入能让这个构造过程更直观、更具操作性：当$\phi$是局部嵌入时，我们可以在$\mathbb{R}^{n+1}$中$\phi(U)$的邻域上直接定义一个全局的光滑单位法向量场（比如利用欧氏空间的标准内积对局部曲面片做正交投影），再拉回$M$的邻域$U$上就得到了光滑的$\nu$。这种构造方式比单纯依赖切空间正交补的代数定义更接地气，作者提前点明局部嵌入，是为了让后续的逻辑衔接更顺畅。

• 衔接已有知识，建立概念关联：
  在很多微分几何教材里，讨论子流形时往往先从嵌入子流形讲起，再过渡到更一般的浸入子流形。作者这里特意强调局部嵌入，其实是在提醒读者：虽然我们讨论的是浸入超曲面，但它在局部和嵌入超曲面没有区别，所以那些针对嵌入超曲面的局部几何概念（比如法向量的定义、光滑性）都可以直接迁移过来，不用重新建立一套理论。这相当于给读者一颗“定心丸”，让他们可以用已有的嵌入子流形知识来理解浸入的情况，减少认知负担。

另外，你提到自己清楚“浸入必局部嵌入”这个性质，这一点很关键！作者其实是在利用这个性质，把抽象的浸入超曲面和读者更熟悉的嵌入超曲面联系起来，让法向量的定义更自然，而不是凭空抛出一个纯代数的概念。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Boar