关于收敛空间中满足开集原像为开集的不连续函数的显式示例问询

嘿，这个问题挺有意思的——我懂你想找的是什么：在收敛空间里，连续性是用滤子来定义的，但我们在拓扑空间里熟稔的“原像开集则连续”这个等价性在这里失效了，你想要一个**不连续（按收敛空间的滤子规则）但又满足“每个开集的原像都是开集”**的函数例子，而且所用的空间还得是非拓扑的，对吧？

其实这类例子可以从“非拓扑收敛空间”入手构造，我给你举个具体的：

首先，我们构造两个收敛空间：

• 设 ( X ) 是自然数集 ( \mathbb{N} )，给它加一个特殊的收敛结构：所有常序列都正常收敛到自身，另外额外规定“全体自然数排成的序列 ( (1,2,3,\dots,n,\dots) ) 收敛到0”。这个 ( X ) 就是个非拓扑收敛空间——你可以想想，拓扑空间里的序列收敛有个性质：如果序列收敛到x，那它的任意子序列也得收敛到x，但这里原序列收敛到0，可比如取所有奇数项组成的子序列，它就不收敛到0，所以没法对应到任何拓扑空间的收敛结构。
• 设 ( Y ) 同样是自然数集 ( \mathbb{N} )，但赋予离散拓扑对应的收敛结构——也就是每个序列只能收敛到它自己（离散空间里每个点都是孤立点，序列只有常序列才收敛）。

接下来定义函数 ( f: X \to Y ) 就是恒等函数，也就是 ( f(n)=n ) 对所有自然数n成立。

现在我们来验证两个关键条件：

1. 满足“开集的原像都是开集”：因为 ( Y ) 是离散空间，所有子集都是开集。那 ( X ) 里的开集是什么呢？在收敛空间中，开集的定义是“如果某个滤子收敛到开集 ( U ) 里的点x，那 ( U ) 必须是这个滤子里的元素”。对应到我们的 ( X )，一个集合 ( U \subseteq X ) 是开集当且仅当：如果0在 ( U ) 里，那 ( U ) 得包含所有足够大的自然数（因为那个特殊序列 ( (n) ) 收敛到0，要是0在开集里，这个序列最终就得全部进入 ( U )，也就是存在某个N，当n>N时，n都在U里）。而f是恒等函数，所以 ( f^{-1}(U)=U )，显然在X里是开集，完全满足条件。
2. 函数f是不连续的：按收敛空间的连续性定义，“只要X里有个滤子收敛到点x，那这个滤子经过f映射后得到的滤子必须收敛到f(x)”。我们看X里那个特殊的序列滤子：对应序列 ( (n) ) 的滤子 ( \mathcal{F} ) 包含了这个序列的所有尾段（比如{5,6,7,...}, {10,11,12,...}这类集合），这个滤子在X里是收敛到0的。但映射到Y之后， ( f(\mathcal{F}) ) 就是Y里包含同样尾段的滤子，可在Y的离散收敛结构里，这个滤子根本不收敛到任何点，更别说收敛到f(0)=0了。这就违反了收敛空间的连续性定义，所以f是不连续的。

你看，这个例子就完美符合你的要求：函数满足开集原像为开集，但按收敛空间的滤子定义是不连续的，而且X还是个非拓扑收敛空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ruby Khondaker