域之间的环同态性质证明验证及术语翻译疑问

先来说说术语翻译的问题：“Zero Homomorphism”确实是德语“Nullhomomorphismus”的标准英文译法哦，英文里一般不会用“Null Homomorphism”来表达，所以你谷歌搜不到这个组合是很正常的，不用怀疑自己的翻译~

接下来看你的证明思路，整体是完全正确的！不过可以把逻辑再梳理得更顺畅一点，我帮你补充说明下：

首先回忆域的一个关键性质：域只有两个平凡理想——零理想${0_{K_1}}$和整个域$K_1$本身。而环同态$f:K_1 \to K_2$的核$\ker f = {a \in K_1 \mid f(a)=0_{K_2}}$是$K_1$的一个理想，所以核只能是这两种情况，对应你分的两个case：

情况1：核非平凡（即$\ker f = K_1$） #

也就是存在非零元素$k \in K_1$使得$f(k)=0_{K_2}$，你这里的推导完全没问题：因为域中非零元素都有逆元，对任意$a \in K_1$，可以写成$a = a \cdot k^{-1} \cdot k$，利用同态的乘法保运算性质：
$$f(a) = f(a \cdot k^{-1} \cdot k) = f(a) \cdot f(k^{-1}) \cdot f(k) = f(a) \cdot f(k^{-1}) \cdot 0_{K_2} = 0_{K_2}$$
这就说明$f$是零同态。

情况2：核是零理想（即$\ker f = {0_{K_1}}$） #

也就是对所有非零元素$k \in K_1$，$f(k) \neq 0_{K_2}$。你这里证明单射的逻辑也很严谨：
$$f(a) = f(b) \implies f(a) - f(b) = 0_{K_2} \implies f(a-b) = 0_{K_2}$$
因为核只有零元素，所以$a-b=0_{K_1}$，即$a=b$，所以$f$是单射。

你的证明已经覆盖了所有必要的步骤，逻辑也没问题，只是可以结合域的理想性质来让整个结论的根源更清晰~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen