无穷大情形下洛必达法则的证明困惑及推导疑问

嗨，我来帮你拆解一下这里的问题～首先你给出的推导公式和思路存在几个关键问题，咱们一步步捋清楚：

你的推导里的核心错误 #

• 无穷远点的线性近似不成立：你用了$b(x)≈b′(a)(x−a)+b(a)$这种线性近似，但这里$a$是趋向无穷大的，无穷大不是一个可以代入的具体点，线性近似（一阶泰勒展开）只适用于$x$趋近于有限值的场景，当$x \to \infty$时，$x-a$趋向负无穷，这个近似式完全没有数学依据，而且$b'(a)$本身就没有定义（导数是在函数定义域内的点上定义的，无穷大不属于定义域）。
• 公式里的$f'(a)$无意义：你推导出来的公式右边出现了$f'(a)$，但当$a \to \infty$时，$a$不是函数$f(x)$定义域内的具体点，$f'(a)$根本不存在，这是一个明显的逻辑漏洞。

为什么测试时看起来“有效”？ #

你说测试了几个极限觉得公式能用，大概率是巧合——比如当$f(x)$和$g(x)$是多项式、指数函数这类简单函数时，错误公式里的一些项可能刚好抵消，碰巧得到了正确结果，但这不能说明推导的合理性，本质上你的推导基础是站不住脚的。

无穷大情形洛必达法则的正确推导思路 #

要证明$x \to \infty$时的$\infty/\infty$型洛必达法则，正确的做法是通过换元把无穷大的极限转化为有限点的极限：

1. 令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0^+$；
2. 原极限转化为：$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(1/t)}{g(1/t)}$；
3. 此时如果满足有限点处洛必达法则的前提条件（比如$\lim_{t \to 0^+} f(1/t) = \lim_{t \to 0^+} g(1/t) = \infty$，$g'(1/t)$在$t$趋近于0时不为0，且$\lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{d}{dt}f(1/t)}{\frac{d}{dt}g(1/t)}$存在），就可以对$t$求导；
4. 用链式法则求导：
   $$\frac{d}{dt}f(1/t) = f'(1/t) \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)$$
   $$\frac{d}{dt}g(1/t) = g'(1/t) \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)$$
5. 两个式子中的$-\frac{1}{t^2}$可以约掉，最终得到：
   $$\lim_{t \to 0^+} \frac{f'(1/t)}{g'(1/t)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
   这就完成了无穷大情形下洛必达法则的推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1079032