关于有理函数$ an\left(n\arctan x\right)$的命名、生成函数及闭式表达的技术咨询

嘿，你通过迭代正切和角公式$\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}$推导到n=9的$R_n(x)=\tan(n\arctan x)$表达式，还总结出递推、对称等规律，这些观察都非常精准！这类函数其实是切比雪夫有理函数的核心子类，和第一类切比雪夫多项式直接相关，咱们来逐一解答你的问题：

首先，先回顾你推导的关键结果：
$$\begin{align}
2\arctan x&=\arctan\left(2x\cdot\frac{1}{1-x^2}\right), &|x|&<1\
3\arctan x&=\arctan\left(x\frac{3-x^2}{1-3x2}\right),&|x|&<1/\sqrt3\
4\arctan x&=\arctan\left(4x\frac{1-x^2}{1-6x2+x^4}\right),&|x|&<\sqrt2-1\
5\arctan x&=\arctan\left(x\frac{5-10x^2+x4}{1-10x^2+5x4}\right),&|x|&<\sqrt{1-2/\sqrt{5}}\
6\arctan x&=\arctan\left(2x\frac{3-10x^2+3x4}{1-7x^2+7x4-x^6}\right),&|x|&<2-\sqrt{3}\
7\arctan x&=\arctan\left(x\frac{7-35x^2+21x4-x^6}{1-21x2+35x^4-7x6}\right),&|x|&<\alpha_7\
8\arctan x&=\arctan\left(8x\frac{1-7x^2+7x4-x^6}{1-28x2+70x^4-28x6+x^8}\right),&|x|&<-1+\sqrt{2}\left(-1+\sqrt{2+\sqrt2}\right)\
9\arctan x&=\arctan\left(x\frac{9-84x^2+126x4-36x^6+x8}{1-36x^2+126x4-84x^6+9x8}\right),&|x|&<\alpha_9
\end{align}$$
其中$\alpha_7$和$\alpha_9$分别对应分母多项式的最小正根。

一、命名 #

这类函数最标准的称呼是切比雪夫有理函数，也常被称为正切多重角有理表达式。它和第一类切比雪夫多项式$T_n(t)$直接挂钩：令$x=\tan\theta$，则$\theta=\arctan x$，此时$R_n(x)=\tan(n\theta)$，而$T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$，结合三角恒等式就能建立起$R_n(x)$与$T_n$的直接关联，因此也可以被称为切比雪夫诱导的正切有理函数。

二、闭式表达 #

除了你提到的$\tan(n\arctan x)$之外，还有几个更实用的闭式形式：

• 复数展开形式：利用$\arctan x=\frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)$，可得$n\arctan x=\frac{1}{2i}\ln\left(\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)^n\right)$，进而：
  $$R_n(x)=\tan(n\arctan x)=\frac{1}{i}\cdot\frac{(1+ix)^n-(1-ix)n}{(1+ix)^n+(1-ix)n}$$
  展开分子分母的二项式，就能得到你推导的分子多项式$p_n(x)$和分母多项式$q_n(x)$——分子是展开后虚部的2倍，分母是实部的2倍。
• 切比雪夫多项式关联形式：利用第二类切比雪夫多项式$U_{n-1}(t)$的性质$\sin(n\theta)=U_{n-1}(\cos\theta)\sin\theta$，结合$\tan(n\theta)=\frac{\sin(n\theta)}{\cos(n\theta)}$，代入$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}$、$\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x}2}}$，可得：
  $$R_n(x)=x\cdot\frac{U_{n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}\right)}{T_n\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}2}}\right)}$$
  整理后就能得到你写出的有理多项式形式。

你推导的递推关系$R_{n+1}(x)=\frac{x+R_n(x)}{1-xR_n(x)}$完全正确，本质就是正切和角公式的迭代；而你发现的奇偶对称规律（$R_{2k}(1/x)=-R_{2k}(x)$、$R_{2k+1}(1/x)=1/R_{2k+1}(x)$）也可以通过闭式或递推轻松证明，这是切比雪夫有理函数的核心对称性质之一。

三、生成函数 #

$R_n(x)$的生成函数可以从三角级数或切比雪夫多项式生成函数推导而来：
令$\alpha=\arctan x$，则$R_n(x)=\tan(n\alpha)$，其生成函数为：
$$G(t,x)=\sum_{n=1}^\infty R_n(x)t^{n=\frac{xt}{1-(1-x}2)t^2}$$
你可以通过展开这个级数验证你推导的各个$R_n(x)$，或者对生成函数求导来验证递推关系，完全匹配你观察到的规律。

另外，从切比雪夫多项式的生成函数出发，也能得到等价的形式，因为$T_n(t)$的生成函数$\sum_{n=0}^\infty T_n(t)t^n=\frac{1-t2}{1-2tt'+t^2}$（这里$t'$是变量），结合三角恒等式就能导出$R_n(x)$的生成函数。

四、深入学习方向 #

你可以从这几个角度继续探索：

• 切比雪夫多项式：第一类、第二类切比雪夫多项式的递推、对称、正交性等性质，完全映射到$R_n(x)$上，是这类函数的理论核心。
• 三角恒等式有理化：这类函数本质是将多重角正切转化为单角正切的有理函数，属于经典三角学的有理化分支，很多教材都有详细讲解。
• 数值分析与逼近论：切比雪夫有理函数是有理正交函数的一种，在函数逼近、插值等领域有重要应用。

你自己推导到n=9的过程非常扎实，这些规律都不是小众发现，在很多数学分支里都能看到它们的身影！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者clathratus