球多极辐射问题中亥姆霍兹方程本征函数展开的系数求解咨询

Preface #

这是一个请求帮忙检查工作的帖子，可能这类帖子不太受欢迎，但我已经在这个问题上折腾了好几天了，真的需要一些帮助。

Context #

我正在解决一个关于球多极辐射的物理问题，相关解属于调和函数范畴，并且满足球坐标系下的亥姆霍兹方程。

作为问题推导的一部分，我得到了如下方程：
$$
f_{\pm}(\mathbf{r},t) = \exp{\left(\pm i k,r\right)} \cos(\theta). \tag{1}
$$
我想用亥姆霍兹方程的基本解来展开式(1)，相关背景知识可以参考文献[1]。

我写出的展开式为：
\begin{align}
\exp{\left(\pm i k,r\right)} \cos(\theta) = \sum_{\ell=0}^{\infty\sum_{m=-\ell}}\ell \left[A_{\ell_\pm},j_{\ell}{(k,r)} + B_{\ell_\pm},n_{\ell}{(k,r)} \right]Y_{\ell}^m(\theta,\varphi),\qquad \tag{2}
\end{align}
其中$j_\ell$和$n_\ell$分别是第一类和第二类球贝塞尔函数，$Y_\ell^m$是球谐函数。

Question #

我该如何确定这些展开系数的值？

My attempt #

首先，我可以把等式左边用唯一一个球谐函数重写。推导后我发现：
\begin{align}
\exp{\left(\pm i k,r\right)} 2,\sqrt{\frac{\pi}{3}}, Y_1^0(\theta,\varphi) = \sum_\ell^{\infty\sum_{m=-\ell}}\ell \left[A_{\ell_\pm},j_{\ell}{(k,r)} + B_{\ell_\pm},n_{\ell}{(k,r)} \right]Y_{\ell}^m(\theta,\varphi),
\end{align}
这样问题就简化了很多，只需要考虑$\ell=1,m=0$的情况：
\begin{align}
\exp{\left(\pm i k,r\right)} 2,\sqrt{\frac{\pi}{3}} = A_{1_\pm},j_{1}{(k,r)} + B_{1_\pm},n_{1}{(k,r)} .
\end{align}

接下来我想到了斯图姆-刘维尔理论，球贝塞尔函数具备正交性和归一化条件。从文献[2]中我了解到：

球贝塞尔函数的正交关系为：
$$\int_0^\infty x^2 j_\alpha(ux) j_\alpha(vx) ,dx = \frac{\pi}{2u^2} \delta(u - v)$$
其中$\alpha > −1$。

2,\sqrt{\frac{\pi}{3}} , \int_{0}^\infty r^2
\exp{\left(\pm i k,r\right)}
,
n_{1}{(k^\prime,r)} ,dr
.
\end{align}

我觉得这一步推导是合理的。接下来我知道这些特定的球贝塞尔函数可以用圆函数（正弦、余弦）重写，于是将积分式展开为：
\begin{align}
A_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
&=
2,\sqrt{\frac{\pi}{3}} , \int_{0}^\infty r^2
\exp{\left(\pm i k,r\right)}
,
\left[
\frac{\sin(k^{\prime,r)}{(k}\prime,r)^2} #

\frac{\cos(k^{\prime,r)}{(k}\prime,r) }
\right]
,dr,
\
B_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
&=
2,\sqrt{\frac{\pi}{3}} , \int_{0}^\infty r^2
\exp{\left(\pm i k,r\right)}
,
\left[

• \frac{\cos(k^{\prime,r)}{(k}\prime,r)^2}

\frac{\sin(k^{\prime,r)}{(k}\prime,r) }
\right]
,dr
.
\end{align}

计算这个积分后，我得到了非常复杂的表达式：
\begin{align}
A_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
&=
\frac{2,{k^\prime}3-\lim\limits_{r\rightarrow \infty }{\mathrm{e}}^{\pm i,r,k},\left(
\left[
r , {k^\prime}2 \left(
{k^\prime}2 #

k^2
\right)
\pm
i,k\left(
k^2 #

3, {k^\prime}2
\right)
\right]
\sin\left(r,k^\prime\right)
+
\left[
2,{k^\prime}3
\pm
i,r,k,{k^\prime}\left(
{k^\prime}2 #

,k^2
\right)
\right]
\cos\left(r,k^\prime\right)
\right)
}{{k^\prime}2,{\left(k^2-{k\prime}^2\right)}2}
\
B_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
&=
\frac{
\pm i,k\left(3,{k^\prime }^2 -k^2 \right)

• \lim\limits_{r\rightarrow \infty }{e}^{\pm i,k,r},\left(
  \left[
  2,{k^\prime }^3
  \pm
  i,k,k^\prime,r
  \left(
  {k^\prime }^2

k^2
\right)
\right]
\sin\left(k^\prime ,r\right)
+
\left[
{k^\prime }^2,r \left(
k^2 #

{k^\prime }^2
\right)
\pm
i,k
\left(
3 ,{k^\prime }^2 #

k^2
\right)
\right]
\cos\left(k^\prime ,r\right)
\right)
}
{
{k^\prime }^2,{\left(k2-{k^\prime }^2\right)}2}
\end{align}

天哪！就算这个表达式是对的，我现在也陷入了两难：不知道该先做哪一步。第一个思路是先取$r\to\infty$的极限，再对$k^\prime$积分；第二个思路是反过来，先完成积分再取极限。

Option 1：先取极限再积分 #

先处理$r\to\infty$的极限后，表达式简化为：
\begin{align}
A_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
&=
\frac{2,{k^\prime}2-\lim\limits_{r\rightarrow \infty }
\pm
i,
e^{\pm i,r,k},r,\left(
{k^\prime}2 #

,k^2
\right)
,\left(
k
,
\cos\left(r,k^\prime\right)
\mp i,
k^\prime
,
\sin\left(r,k^\prime\right)
\right)
}{{k^\prime} ,{\left(k^2-{k\prime}^2\right)}2}
\
B_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
&=
\frac{
\pm i,k\left(3,{k^\prime }^2 -k^2 \right)

• \lim\limits_{r\rightarrow \infty } {k^\prime },r
  \left(
  k^2

{k^\prime }^2
\right)
{e}^{\pm i,k,r},\left(
k^\prime
,
\cos\left(k^\prime ,r\right)
\pm
i,k
\sin\left(k^\prime ,r\right)
\right)
}
{
{k^\prime }^2,{\left(k2-{k^\prime }^2\right)}2}
\end{align}

接下来对$k^\prime$进行积分：
\begin{align}
\int_0^\infty A_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime) ,dk^\prime
&=
\int_0^\infty
\frac{2,{k^\prime}2-\lim\limits_{r\rightarrow \infty }
\pm
i,
e^{\pm i,r,k},r,\left(
{k^\prime}2 #

,k^2
\right)
,\left(
k
,
\cos\left(r,k^\prime\right)
\mp i,
k^\prime
,
\sin\left(r,k^\prime\right)
\right)
}{{k^\prime} ,{\left(k^2-{k\prime}^2\right)}2}
,dk^\prime
\
\int_0^\infty
B_{1_\pm},\frac{\pi}{2,k^2} \delta(k - k^\prime)
,dk^\prime
&=
\int_0^\infty
\frac{
\pm i,k\left(3,{k^\prime }^2 -k^2 \right)

• \lim\limits_{r\rightarrow \infty } {k^\prime },r
  \left(
  k^2

{k^\prime }^2
\right)
{e}^{\pm i,k,r},\left(
k^\prime
,
\cos\left(k^\prime ,r\right)
\pm
i,k
\sin\left(k^\prime ,r\right)
\right)
}
{
{k^\prime }^2,{\left(k2-{k^\prime }^2\right)}2}
,dk^\prime.
\end{align}

但最终得到的结果居然是：
\begin{align}
A_{1_\pm}
&=
0
\
B_{1_\pm}
&=
0.
\end{align}

这肯定不对啊！

Bibliography #

[1] 平面波展开相关专业资料
[2] 球贝塞尔函数正交性相关专业资料

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michael Levy