关于带分段常数的正Bump函数的Fourier变换渐近行为的技术问询
我目前有一个关于光滑紧支Bump函数傅里叶变换渐近行为的技术问题，先明确一下这个函数的定义：
考虑一个属于$C_0^\infty(\mathbb{R})$的Bump函数$f$，它满足：
\begin{align}
f(x) =
\begin{cases}
1\qquad \forall x\in (a,b),,
\
0\qquad \forall x\in \mathbb{R}\setminus(a-\epsilon,b+\epsilon)
\end{cases}
\end{align}
其中$\epsilon>0$。简单来说，这个函数在区间$(a,b)$上是常数1，然后在宽度为$\epsilon$的小窗口内平滑且单调地过渡到0，整体是光滑且紧支的。这个函数包含两个尺度参数：区间长度$\Delta = b-a>0$，以及过渡区域的宽度$\epsilon>0$。
我的核心问题是：针对这个函数的傅里叶变换，我们目前已知哪些和$\Delta$、$\epsilon$相关的结论？尤其是它的渐近行为。
我之前了解到（推测是基于驻相近似的结论），用$e{-\frac{1}{1-x2}}$构造的标准Bump函数，其傅里叶变换的渐近行为是$O(|k|{-3/4}e{-\sqrt{k}})$——衰减速度比任何多项式都快，但因为存在$1/|k|$项，所以带有“非解析”的部分。我现在希望搞清楚，上面定义的这个$f$的傅里叶变换，其渐近行为和$\Delta$、$\epsilon$的具体关联。
这里可以对比两个极端情况：
- 高斯函数$g(x) = e{-x2/\sigma^2}$（仅由宽度$\sigma$决定单一尺度），它是光滑但非紧支的，其傅里叶变换同样是高斯函数$\tilde{g}(k)\sim e{-\sigma2 k2}$，宽度为$\sigma{-1}$。
- 矩形函数$r(x)$，紧支但在边界处不连续，其傅里叶变换是sinc函数，即$\tilde{r}(k)\sim \sin(k \Delta )/k$，渐近行为为$O(1/|k|)$。
基于物理研究的直觉，我认为我们定义的这个$C^\infty_0(\mathbb{R})$的Bump函数$f$，它的傅里叶变换应该处于上述两者之间，大概形式为：
\begin{align}
\tilde{f}(k) \sim O(|k|{-\alpha}e{-k^{\beta}})
\end{align}
我猜测这里的参数满足$0<\alpha <1$且$0< \beta <1$。所以我想更明确地提出几个问题：
- 这个猜测是否正确？或者这已经是一个已知的结论？
- 如果是已知结论，能否推荐相关的论文、书籍等参考资料？
- 如果猜测错误，能否给出论证过程或者反例？
- 如果这其实是一个较为基础的结论而我暂时没理清思路，也希望能得到一些思路提示。
当然，如果能明确$\alpha$、$\beta$与$\Delta$、$\epsilon$的依赖关系就更好了，但我猜测这两个尺度参数可能只会出现在傅里叶系数中，而不会影响$\alpha$和$\beta$的取值。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Evangeline A. K. McDowell
