含复指数与复幂次的无穷反常黎曼积分求解咨询

各位好，我最近在计算一个带复指数和复幂次的无穷反常黎曼积分，试了很多方法都没头绪，连Mathematica都没法直接给出结果，想请教一下社区里的大佬们该怎么求解这个积分。

具体问题如下：
已知实数 $k \neq 0$，$y \neq 0$，且 $0 < \alpha < 1$，需要计算积分：
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ikx}}{(ix)\alpha (i(x+y))^\alpha} dx$$

这里需要说明两个关键点：

• 该积分是收敛的，我们按反常黎曼积分的定义来理解它；
• 对于式中的 $(ix)^\alpha$ 和 $(i(x+y))^\alpha$，我们采用主值分支，也就是辐角的取值范围为 $(-\pi, \pi]$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Laplacian