交换群中平移函数τₐ的双射性证明正确性问询

问题背景 #

设$G$是一个交换群，单位元为$e$，且对任意$a \in G$都满足$aa = e$。

需要证明：对任意$a \in G$，函数$\tau_a: G \to G; x \mapsto xa$是双射。

我的尝试 #

双射意味着同时满足单射（Injective）和满射（Surjective）：

单射证明 #

单射的定义是：若$f(x_1) = f(x_2)$，则$x_1 = x_2$。

对于$\tau_a$：
$$\tau_a(x_1) = \tau_a(x_2) \implies x_1a = x_2a$$
两边同时右乘$a$：
$$x_1aa = x_2aa$$
结合已知条件$aa = e$，代入得：
$$x_1e = x_2e \implies x_1 = x_2$$
因此$\tau_a$是单射。

满射证明 #

满射的定义是：对任意$y \in G$，存在$x \in G$使得$\tau_a(x) = y$。

我们需要找到对应的$x$，令$x = ya^{-1}$，则：
$$\tau_a(x) = x \cdot a = ya^{-1}a = y$$
因此$\tau_a$是满射。

正确性评价 #

你的证明几乎完全正确，有一个小细节可以优化得更严谨：在满射证明里，你用到了$a^{-1}$，其实结合题目给出的$aa = e$，可以直接得出$a$的逆元就是它本身（$a^{-1}=a$），把$x$的选择改成$x=ya$会更贴合题目条件，逻辑也更连贯：
$$x \cdot a = ya \cdot a = y(aa) = ye = y$$

不过整体来看，你的证明思路完全没问题，单射部分的推导严谨无误，满射的核心逻辑也成立，只是细节上可以更贴合题目给定的条件来调整~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen