验证由交换方阵诱导的余核间线性变换r的定义推导是否正确
背景回顾
给定线性变换 $c:X\to Y$，以及包含线性变换 $a,b,d$ 的交换方形图：
$$\begin{array}{ccccccccc} X' & \xrightarrow{a} & X \
b\big\downarrow & & \big\downarrow c \
Y' & \xrightarrow{d} & Y \
\end{array},\quad (1)$$
我们的目标是证明：线性变换 $a,d$ 能诱导出一个从 $\text{Coker }b$ 到 $\text{Coker }c$ 的线性变换。
你的尝试思路与推导
你首先抓住了交换图的核心关系 $c\circ a = d\circ b$，然后扩展出了包含商映射的交换图：
$$\begin{array}{ccccccccc} X' & \xrightarrow{a} & X \
b\big\downarrow & & \big\downarrow c \
Y' & \xrightarrow{d} & Y \
q'\big\downarrow & & \big\downarrow q \
Y'/\text{Im }b & \xrightarrow{r} & Y/\text{Im }c \
\end{array}\quad\quad (2)$$
其中 $q'$ 是 $Y'$ 到 $\text{Coker }b = Y'/{\rm Im},b$ 的典范商映射，$q$ 是 $Y$ 到 $\text{Coker }c = Y/{\rm Im},c$ 的典范商映射。
你提到想通过证明 $r(\text{Coker }b) \subset \text{Coker }c$ 来完成推导，并且做了一系列等式推导。现在我们来拆解你的思路是否正确：
我的分析与修正
首先要明确一个关键：你这里的表述有点小混淆——$\text{Coker }c$ 本身就是 $r$ 的目标空间，所以 $r$ 的像必然包含在里面，你真正需要证明的是 $r$ 是良定义的线性变换（也就是商空间上的映射不会因为等价类代表元的选择而改变结果），这才是问题的核心。
你的推导里的正确部分
你利用交换图的关系 $c(a(x'))=d(b(x'))$ 是完全正确的，这是整个证明的核心依据。当你推导到 $r(q'(y'))=q(d(y'))$ 这一步时，其实已经触碰到了良定义的关键：
如果我们把 $r$ 定义为 $r(y'+\text{Im }b) = q(d(y'))$，那么只要证明当 $y'_1+\text{Im }b = y'_2+\text{Im }b$ 时，$q(d(y'_1))=q(d(y'_2))$，就能说明 $r$ 是良定义的。
用你的思路可以补全这个验证：
假设 $y'_1 - y'_2 \in {\rm Im},b$，那么存在 $x'\in X'$ 使得 $y'_1 - y'_2 = b(x')$，代入交换关系得：
$$d(y'_1 - y'_2) = d(b(x')) = c(a(x'))$$
而 $c(a(x'))$ 属于 ${\rm Im},c$，所以 $q(d(y'_1 - y'2)) = q(c(a(x'))) = 0{\text{Coker }c}$，也就是 $q(d(y'_1)) = q(d(y'_2))$——这就完美证明了 $r$ 的良定义性。
表述上的小调整
你写的“$r(y'+\text{Im }b)=y+\text{Im }c$”这里的 $y$ 指代不够清晰，应该明确为 $d(y')$ 在商空间的等价类，即 $r(y'+\text{Im }b) = d(y') + \text{Im }c$，这样逻辑会更顺畅。
补充线性性验证
既然要证明是线性变换，我们还需要补全线性性的验证（这部分你没提到，但属于完整证明的一部分）：
- 加法保持：对任意 $y'_1+\text{Im }b, y'_2+\text{Im }b \in \text{Coker }b$，
$$r((y'_1+y'_2)+\text{Im }b) = q(d(y'_1+y'_2)) = q(d(y'_1)+d(y'_2)) = q(d(y'_1))+q(d(y'_2)) = r(y'_1+\text{Im }b)+r(y'_2+\text{Im }b)$$ - 数乘保持：对任意标量 $k$ 和 $y'+\text{Im }b \in \text{Coker }b$，
$$r(k(y'+\text{Im }b)) = r(ky'+\text{Im }b) = q(d(ky')) = q(kd(y')) = kq(d(y')) = kr(y'+\text{Im }b)$$
总结
你的核心思路是完全正确的，利用交换图的关系来推导映射的良定义性是解决这个问题的关键。只是在表述上把“证明像包含于余核”改成“证明映射良定义”会更准确，补充线性性的验证后，整个证明就完整严谨了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Seth
