证明常微分方程的正向时间解也满足反向时间的同一方程

我明白你的思路方向是对的，只是变量替换的时候需要更仔细梳理，别搞混了变量的对应关系。咱们一步步把逻辑理清楚：

先明确已知和目标 #

我们已知函数$x(t)$在区间$[0,\tau]$上满足常微分方程：
$$\dot{x}(t) = \frac{dx}{dt}(t) = f(x(t)) \quad \text{对所有 } t \in [0,\tau]$$

你的目标是证明$x(t)$在区间$[-\tau,0]$上也满足同一方程，也就是对任意$t \in [-\tau,0]$，都有$\dot{x}(t) = f(x(t))$。不过这里要先澄清一个点：这个结论并不是必然成立的，除非有额外的前提条件（比如$x(t)$是常数解，或者$f(x)$是奇函数且$x(t)$是偶函数）。但你的思路里引入$x(-t)$的方法，其实是推导反向时间解的核心技巧，咱们先把这个正确的推导过程讲清楚：

正确推导：反向时间解的方程 #

如果我们用正向解构造反向区间上的函数，令$y(t) = x(-t)$，其中$t \in [-\tau,0]$（此时$-t$正好落在$[0,\tau]$里，所以$y(t)$是有定义的）。现在我们来计算$y(t)$的导数，用链式法则：
$$\dot{y}(t) = \frac{d}{dt}x(-t) = \dot{x}(-t) \cdot (-1)$$

因为$-t \in [0,\tau]$，根据已知条件，$\dot{x}(-t) = f(x(-t)) = f(y(t))$，把它代入上式：
$$\dot{y}(t) = -f(y(t))$$

这就说明，$y(t)=x(-t)$是区间$[-\tau,0]$上方程$\dot{y} = -f(y)$的解，这是严格成立的结论。

什么时候反向解能满足原方程？ #

如果我们希望反向构造的函数满足原方程$\dot{y}=f(y)$，那需要满足$-f(y(t))=f(y(t))$，这要么意味着$f(y(t))=0$（也就是$y(t)$是常数解），要么要求$f$是奇函数（即$f(-x)=-f(x)$），同时构造$z(t) = -y(t) = -x(-t)$，此时：
$$\dot{z}(t) = -\dot{y}(t) = f(y(t)) = f(-z(t)) = -f(z(t))$$
哦，不对，这里如果$f$是奇函数，我们换个角度看：若$x(t)$本身在整个$[-\tau,\tau]$上都是原方程的解，那它在$[-\tau,0]$上自然满足原方程——比如像$x(t)=e^t$满足$\dot{x}=x$，它在整个实数轴上都符合方程，不管正向还是反向区间。

回到你的尝试 #

你之前想通过$x(-t)$证明它满足$\dot{x}=-f(x)$，再推导到原方程，这个方向是对的，只是混淆了“原函数$x(t)$在反向区间的行为”和“反向构造的函数$x(-t)$的方程”这两个概念。如果题目确实要求证明$x(t)$本身在$[-\tau,0]$上满足原方程，那你需要确认题目是否隐含了额外条件（比如$x$是偶函数、$f$是奇函数，或者$x$在更大区间上的可解性）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nomadicmathematician