分段衰减函数初值问题（IVP）的证明与求解疑问（药物体内代谢微分方程模型）
问题背景
目前我已经完成了大部分推导，但有几个环节当时只是凭感觉凑出了结果，现在需要把逻辑补全——这是一个关于药物在体内代谢衰减的问题：药物会在$b$小时内持续释放，之后在时间$T$时服用第二剂。
已知参数与模型设定
已知条件整理如下：
- 药物的衰减常数为1，每剂药物含量为1克
- 药物持续释放时长 $b=\frac{5}{4}$ 小时，第二剂给药时间 $T=\frac{5}{2}$ 小时
- 初始时刻体内药物量 $y(0)=0$，其中$y(t)$表示$t$时刻体内的药物总量
- 基本模型遵循速率平衡关系：$rate=rate_{in}-rate_{out}$
根据释放时长和剂量，可算出药物的释放速率为$\frac{4}{5}$克/小时（1克药物在$\frac{5}{4}$小时内匀速释放）。基于这个速率和给药时间$T$，可以构建分段函数$g(t)$来表示药物的输入速率（$rate_{in}$）：
- 当 $0<t<\frac{5}{4}$ 或 $\frac{5}{2}<t<\frac{15}{4}$（$\frac{15}{4}$是第二剂的结束时间，即$T+b$）时，$g(t)$处于“激活”状态（药物正在释放）
- 当 $\frac{5}{4}<t<\frac{5}{2}$ 或 $\frac{15}{4}<t<5$ 时，$g(t)$处于“关闭”状态（只有代谢衰减，没有新药物输入）
我知道可以用*单位阶跃函数（矩形窗函数）*来表示$g(t)$，比如$u(t)-u(t-\frac{5}{4})$这类形式，但核心的微分方程部分还需要理清。
当前推导的初步进展
我建立了如下初值问题（IVP）：
$$y'(t)=\frac{4}{5}g(t)-\frac{4}{5}y(t)$$
目前我对这个方程的形式是有信心的，但逻辑上还有几个点没捋清楚，需要解释。
我遇到的核心疑问
关于方程中的$\frac{4}{5}$系数：
当时我是靠搜索猜测着加的这个系数，现在忘了具体依据。我只知道$\frac{4}{5}$是药物的释放速率（克/小时），但不确定为什么要同时乘在$g(t)$和$y(t)$上？如果$\frac{4}{5}$是速率量纲，为什么能直接和$y(t)$（药物总量）相乘？总觉得这里的量纲和逻辑关系没说通。拉普拉斯变换后的分段函数构建：
我算出拉普拉斯变换后的形式是$\frac{\frac{4}{5}G(s)}{s+\frac{4}{5}}$，但一开始尝试用$g(t)=(u(t)-u(t-\frac{5}{4}))+(u(t-\frac{5}{4})-u(t-\frac{5}{2}))$时，项会直接抵消，显然不对。后来我尝试通过“衔接分段区间的端点值”来构建$y(t)$，得到了这样的表达式：
$$y(t)=(1-e{-\frac{4}{5}t})(u(t)-u(t-\frac{5}{4}))+(1-e{-1})(e{-\frac{4}{5}(t-\frac{5}{4})})(u(t-\frac{5}{4})-u(t-\frac{5}{2}))+(e{-\frac{4}{5}(t-\frac{5}{2})})(1-(1-(e-1)e^{-2}))(u(t-\frac{5}{2})-u(t-\frac{15}{4}))+\dots$$
虽然这个表达式的计算结果是对的，但其中像$1-(1-(e-1)e^{-2})$这样的项，我只能用一些模糊的“阶跃函数相互作用”来解释，完全没有严谨的推导逻辑，没法证明为什么这么做是对的。
后续突破与更新
第一部分疑问的初步思路（仍需验证）
我大概想通了$\frac{4}{5}$系数的问题，但还是希望有人帮忙核对一下逻辑是否正确。
第二部分疑问的关键突破
我发现之前的阶跃函数组合思路错了，其实只要让$g(t)$在药物未释放的区间直接取0，就能得到一个我一直怀疑但不敢确定的表达式，而且这个表达式完全符合计算结果：
$$\left(1-e{-\frac{4}{5}t}\right)u\left(t\right)-\left(1-e{-\frac{4}{5}\left(t-\frac{5}{4}\right)}\right)u\left(t-\frac{5}{4}\right)+\left(1-e{-\frac{4}{5}\left(t-\frac{5}{2}\right)}\right)u\left(t-\frac{5}{2}\right)-\left(1-e{-\frac{4}{5}\left(t-\frac{15}{4}\right)}\right)u\left(t-\frac{15}{4}\right)-\left(1-e^{-\frac{4}{5}\left(t-5\right)}\right)u\left(t-5\right)$$
不过我还是不太明白为什么这个形式是对的——为什么通过交替加减阶跃函数修正后的表达式，就能准确衔接各个分段区间的药物量？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ataaamic
