关于证明序列$x_n=(-1)^n\frac{n+1}{n}$的上极限的疑问

别担心，我来一步步帮你拆解这个上极限的证明，先从定义入手，再解决你的困惑点。

首先回忆一下上极限的核心定义：$\limsup_{n\to\infty}x_n = \inf_{n\in\mathbb{N}} \sup_{k\ge n}x_k$，简单说就是先对每个起点$n$，找出从$n$往后所有项的上确界，再把这些上确界的集合取最小的下界（下确界）。

第一步：分析每个尾部的上确界$\sup_{k\ge n}x_k$ #

我们把$n$分奇偶两种情况逐一分析：

• 当$n$是偶数时，比如$n=2m$，那么$k\ge 2m$的项里，偶数项是$x_{2t}=\frac{2t+1}{2t}=1+\frac{1}{2t}$（$t\ge m$），奇数项是$x_{2t+1}=-\frac{2t+2}{2t+1}$（$t\ge m$）。显然奇数项都是负数，而偶数项都是大于1的正数，所以这个尾部的上确界就是所有$k\ge n$的偶数项的上确界。注意$\frac{2t+1}{2t}$是随着$t$增大而递减的（分母越大，整体值越小），所以当$n=2m$时，$\sup_{k\ge 2m}x_k = \frac{2m+1}{2m}=\frac{n+1}{n}$——也就是这个尾部里最大的偶数项就是$x_n$本身，后面的偶数项都比它小。
• 当$n$是奇数时，比如$n=2m+1$，$k\ge 2m+1$的项里，第一个偶数项是$n+1=2m+2$，对应的$x_{2m+2}=\frac{2m+3}{2m+2}=1+\frac{1}{2m+2}$，之后的偶数项依然是递减趋近于1，奇数项还是负数。所以这个尾部的上确界就是$\frac{2m+3}{2m+2}=\frac{n+2}{n+1}$（代入$n=2m+1$就能验证等式成立）。

第二步：对这些尾部上确界取下确界 #

现在我们得到了所有$n$对应的$\sup_{k\ge n}x_k$的集合：

• 偶数$n$对应的序列：$1+\frac{1}{n}$，这是一个递减序列，会无限趋近于1；
• 奇数$n$对应的序列：$1+\frac{1}{n+1}$，同样是递减序列，也无限趋近于1。

要确定这个集合的下确界，我们需要确认两点：

1. 1是这个集合的下界：因为所有$\sup_{k\ge n}x_k$都是$1+\frac{1}{t}$（$t$是某个正整数），显然都大于1，所以1是合法的下界；
2. 1是最大的下界：对于任意小的正数$\varepsilon>0$，我们总能找到足够大的$N$，当$n>N$时，$1+\frac{1}{n}<1+\varepsilon$，也就是说不存在比1更大的数能作为这个集合的下界——因为不管多接近1，都有某个尾部上确界比它大。

所以$\inf_{n\in\mathbb{N}} \sup_{k\ge n}x_k=1$，也就是这个序列的上极限是1。

纠正你的误解 #

你之前觉得“只要足够大的$n$时$x_n\le1$”是不对的——事实上这个序列的所有偶数项都是$x_n=1+\frac{1}{n}$，永远大于1。但上极限的定义不是看“最终所有项都≤某个数”，而是看序列中能无限次接近的最大数：这里偶数项虽然都大于1，但它们越来越靠近1，而且没有子列能超过1更多（比如没有子列趋近于比1大的数），所以上极限就是1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者The Rizzler