关于幂等函数计数公式的疑问确认

嗨，你的观察完全正确！我们来一步步拆解这个问题，验证你的结论：

首先，先明确幂等函数的定义：函数$f: [n] \to [n]$满足$f \circ f = f$，意味着每个元素要么是自身的不动点（即$f(x)=x$），要么被映射到某个不动点上。

接下来我们看计数逻辑：

• 要构造这样的函数，我们可以先从$[n]$中选出$k$个元素作为不动点集合（$k$的取值范围是$0$到$n$），这一步有$\binom{n}{k}$种选法；
• 剩下的$n-k$个元素，每个都必须映射到这$k$个不动点中的某一个，所以每个元素有$k$种选择，总共$k^{n-k}$种方式。

所以幂等函数的总数应该是$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} k^{n-k}$。现在我们分情况看：

• 当$n=0$时，$[0]$是空集，唯一的空函数满足幂等性。此时求和式里只有$k=0$的项：$\binom{0}{0} 0^{{0}$，在组合计数的语境下$0}0$通常被定义为$1$，所以总和是$1$，和原公式$1 + \sum_{k=1}^{0} \dots$（空和为0）的结果一致。
• 当$n \geq 1$时，$k=0$的项是$\binom{n}{0} 0^{n} = 1 \times 0 = 0$，所以求和式就简化为$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} k^{n-k}$，这和你猜测的结论完全匹配。

原公式里的“$1 + \sum_{k=1}^{n} \dots$”其实等价于$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} k^{n-k}$，只是把$k=0$的项单独提了出来——但当$n \geq 1$时，$k=0$的项为0，所以此时原公式的“$1$”就多余了，你的修正完全正确。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P