关于投影函数πᵢ下开集的像为开集的证明思路疑问

嗨，先帮你理清思路里的问题：你想通过证明πᵢ的逆函数连续来推导的路子走不通哦——因为投影函数πᵢ根本不存在全局逆函数！举个简单例子，在ℝ²里，π₁(x₁,x₂)=x₁，你没法找到一个函数把单个实数x₁映射回唯一的(x₁,x₂)，毕竟x₂可以取任意实数，所以πᵢ⁻¹作为“函数”是不存在的，你这里混淆了“逆映射（函数）”和“原像集”的概念，这是关键误区。

那回到题目要求：用连续函数来证明πᵢ(A)是开集，正确的思路应该结合连续函数的原像保持开集这个核心性质，再配合开集的定义来推进，具体步骤如下：

• 先明确：πᵢ本身是连续函数（这个一般是已知结论，如果需要验证的话，用ε-δ定义很容易：对任意x∈ℝⁿ，任意ε>0，取δ=ε，当||x'-x||<δ时，|πᵢ(x')-πᵢ(x)|=|x'_i - x_i|≤||x'-x||<δ=ε，所以πᵢ连续）。
• 要证πᵢ(A)是开集，根据开集的定义，只需要证明：对任意y∈πᵢ(A)，存在一个开区间(y-δ,y+δ)⊆πᵢ(A)（δ>0）。
• 对于任意y∈πᵢ(A)，根据投影的定义，必然存在某个点x=(x₁,x₂,...,x_i,...,xₙ)∈A，使得πᵢ(x)=x_i=y。因为A是开集，所以x有一个n维开球邻域B(x, r)⊆A（r>0）。
• 构造一个连续函数g: ℝ→ℝⁿ，定义为g(t)=(x₁, x₂, ..., t, ..., xₙ)——也就是把第i个坐标换成t，其他坐标固定为x的对应分量。这个函数是连续的，因为每个坐标分量要么是常数函数，要么是恒等函数，都是连续的。
• 因为A是开集，g是连续函数，所以g⁻¹(A)是ℝ中的开集（连续函数的核心性质：开集的原像还是开集）。而g⁻¹(A)就是所有满足g(t)∈A的t的集合，显然y=x_i∈g⁻¹(A)（毕竟g(y)=x∈A）。
• 既然g⁻¹(A)是ℝ中的开集，且y∈g⁻¹(A)，那么一定存在δ>0，使得开区间(y-δ,y+δ)⊆g⁻¹(A)。这意味着对任意t∈(y-δ,y+δ)，g(t)∈A，从而πᵢ(g(t))=t∈πᵢ(A)，所以(y-δ,y+δ)⊆πᵢ(A)。
• 由y的任意性，πᵢ(A)中的每个点都有一个开区间邻域包含在πᵢ(A)里，所以πᵢ(A)是ℝ中的开集。

这样就完全用连续函数的性质完成了证明，避开了不存在的逆函数问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mauricio Silva