关于数域间分式理想映射的良定性与类群映射单射性的推导验证问询

设$K\subseteq L$是两个数域，其整数环分别为$\mathcal O_K$和$\mathcal O_L$。记$I(K)$、$I(L)$分别为$K$、$L$的分式理想群，$P(K)$、$P(L)$分别为$K$、$L$的主分式理想群。

我的第一个问题是：下述映射是否良定义？
$$I(K)\to I(L),\ \mathfrak a\mapsto \mathfrak a\mathcal O_L.$$

我目前的推导如下：
首先，若$\mathfrak a=\alpha\mathfrak b$是$K$的分式理想，其中$\alpha\in K^\times$，$\mathfrak b$是$\mathcal O_K$的理想，那么$\mathfrak a\mathcal O_L=\alpha\mathfrak b\mathcal O_L$，而$\mathfrak b\mathcal O_L$是$\mathcal O_L$的理想，因此$\mathfrak a\mathcal O_L$是分式理想。这个推导是否正确？

由此可知$P(K)$会映射到$P(L)$，因此我们得到类群之间的一个良定义映射：
$$\varphi: C(K)\to C(L).$$

我的第二个问题是：映射$\varphi$是否是单射？

针对这个问题，我先检查映射$I(K)\to I(L)$的单射性：
假设$\mathfrak p \mathcal O_L=\mathfrak q\mathcal O_L=\prod_i\mathfrak B_i$，其中$\mathfrak p$和$\mathfrak q$是$\mathcal O_K$的素理想，$\mathfrak B_i$是$\mathcal O_L$的素理想。
每个素理想$\mathfrak B_i$与$\mathcal O_K$的交都是包含$\mathfrak p$和$\mathfrak q$的素理想，因此$\mathfrak p=\mathfrak q$。
这证明了素理想的情况是单射，进而所有分式理想的情况也是单射，因为素理想生成分式理想群。

我的这两个推导是否都正确？
谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Luis Antonio Sanchez