关于矩阵拟阵$M\big[ \frac{A_1}{A_2}\big]$与$M[A_1]$相等性的证明问询

问题描述 #

我现在在处理这么一个问题：
设$i = 1,2$，$A_i$是域$\mathbb F$上的$m_i \times n$矩阵。如果$A_2$的每一行都是$A_1$行的线性组合，证明$M\big[ \frac{A_1}{A_2}\big] = M[A_1]$。

我的初步思路 #

我一开始的想法是：既然$A_2$的每一行都是$A_1$行的线性组合，那是不是可以通过简单的行变换把$A_2$的所有行都变成零行？这样是不是直接就能说明两个拟阵相等了？不过我不确定这个思路能不能构成严谨的证明，要是不行的话，有没有人能给我展示一下正确的证明步骤呀？

后来我又琢磨，是不是得证明这两个拟阵的秩相等？但如果能把$A_2$的行都消成零的话，秩肯定是一样的呀。

我现在有点懵，不知道具体该怎么写证明过程，这个问题真的这么简单就能搞定吗？

补充说明 #

• $M[A_1]$是矩阵$A_1$对应的拟阵，$\frac{A_1}{A_2}$是把$A_2$的行拼接在$A_1$行下方形成的大分块矩阵。
• 两个拟阵相等的判定标准是它们拥有相同的独立集族，或者相同的基集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Intuition