能否用可数个smol集覆盖实数集ℝ？

先明确一下这里的smol集定义：

称实数集的子集 $X \subset \mathbb{R}$ 是smol集，如果无法用可数个$X$的平移集覆盖整个$\mathbb{R}$。

先聊几个相关的例子：

• 零测集肯定都是smol集——毕竟可数个零测集的并还是零测集，根本不可能盖得住测度无穷大的$\mathbb{R}$。
• 我猜正测度集应该不是smol集，但目前还没把这个证明啃下来。
• 至于不可测集，现在完全是个谜，搞不清它们算不算smol集。

我现在最想问的核心问题是：能不能用可数个smol集覆盖整个$\mathbb{R}$？

这个问题是我在尝试找一个极大族 $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$ 时冒出来的——这个族要满足：里面随便挑可数个集合，它们的并都不等于$\mathbb{R}$。要是能找到这样的极大族，就能给$\mathbb{R}$的每个子集都安上一个粗略的“大小标签”（只分“大”和“小”）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alma Arjuna