关于用1个X-pentomino和任意数量I-tromino能否平铺矩形的证明请求

大家好，我最近卡在了一个矩形平铺问题上，想请教各位前辈：能不能用一个X-pentomino（十字形五格骨牌）加上任意数量的I-tromino（一字形三格骨牌），完全平铺一个矩形？

我自己先做了一些分析：

• 首先从面积条件来看，矩形总面积得满足 $5 + 3k = S$（$k$ 是I-tromino的数量），所以我锁定了尺寸为 $3m+1 \times 3n+2$ 的矩形 $R$，这个尺寸的面积模3余2，和 $5$ 模3的结果一致，符合面积要求。
• 之后我用了两种循环3染色的方法（一种是123循环，另一种是321循环）对矩形进行染色分析，得出结论：X-pentomino的中心必须落在第 $3i-2$ 行、第 $3j$ 列的位置。比如在一个8×10的矩形里，所有标记为“3”的格子就是X中心的可能落点（可惜没法附上原图，大家可以自行想象这个分布）。

现在我想证明这种平铺是不可能实现的，但遇到了瓶颈：如果从X-pentomino中去掉一个I-tromino形状的部分，剩下的“残缺区域”（比如去掉中心标记为3的格子上下两个格子后的区域）是可以用I-tromino平铺的，但问题是覆盖那个中心3格子的I-tromino并不是以X的中心为核心的——这种局部的可行方案并不能推广到整个矩形的完整平铺。

有没有大佬能帮我给出这个问题的完整证明？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Haoran Chen