整数环ℤ是否可初等嵌入到非诺特环ℤ[x₁,x₂,…]？

嘿，这个问题问得很有意思！先给你明确结论：是的，ℤ可以初等嵌入到ℤ[x₁,x₂,…]中，你的初始候选是对的，可能是你用Tarski-Vaught测试时的思路出了点小问题，咱们来梳理清楚。

首先，回忆一下初等嵌入的核心要求：我们说ℤ可以初等嵌入到ℤ[x₁,x₂,…]，意思是把ℤ中的整数对应到ℤ[x₁,x₂,…]里的常数多项式时，这个嵌入满足：对于语言{=,0,1,+,·}中的任何一阶公式φ(y₁,…,yₙ)，以及任意整数a₁,…,aₙ，ℤ⊨φ(a₁,…,aₙ)当且仅当ℤ[x₁,x₂,…]⊨φ(a₁,…,aₙ)（这里a₁,…,aₙ在ℤ[x₁,x₂,…]中是常数多项式）。

接下来用你尝试的Tarski-Vaught测试来验证：测试要求，对于任何带参数来自ℤ的一阶公式φ(x, a₁,…,aₙ)，如果ℤ[x₁,x₂,…]中存在某个元素p使得φ(p,a₁,…,aₙ)成立，那么ℤ中也一定存在某个整数k使得φ(k,a₁,…,aₙ)成立。

怎么证明这一点呢？我们可以用赋值同态的思路：定义一个从ℤ[x₁,x₂,…]到ℤ的映射，把所有变量x₁,x₂,…都映射到0，这个映射是一个环同态，它会把每个多项式p(x₁,x₂,…)映射到它的常数项p(0,0,…,0)，同时保持ℤ中的元素不变（因为常数多项式的常数项就是它本身）。

现在，假设ℤ[x₁,x₂,…]⊨φ(p,a₁,…,aₙ)，其中p是某个多项式，a₁,…,aₙ是整数（常数多项式）。我们可以对公式φ的复杂度做归纳：

• 如果φ是无量词公式（比如涉及+、·、=的等式或不等式），环同态会保持这些公式的真值，所以ℤ⊨φ(p(0,0,…,0),a₁,…,aₙ)，而p(0,0,…,0)是整数，满足条件。
• 如果φ是带量词的公式，比如∃xψ(x,a₁,…,aₙ)，既然ℤ[x₁,x₂,…]中存在p使得ψ(p,a₁,…,aₙ)成立，由归纳假设，ℤ中存在p(0,0,…,0)使得ψ(p(0,0,…,0),a₁,…,aₙ)成立，所以ℤ⊨∃xψ(x,a₁,…,aₙ)。

这样就满足了Tarski-Vaught测试的条件，说明ℤ确实是ℤ[x₁,x₂,…]的初等子结构，也就是存在初等嵌入。

你之前测试没成功，可能是没找到合适的方法来对应ℤ[x₁,x₂,…]中的解到ℤ中的解，赋值同态这个小技巧刚好能解决这个问题。另外要注意，虽然ℤ是诺特环而ℤ[x₁,x₂,…]不是，但诺特环的性质是二阶逻辑才能表达的（涉及理想的升链条件），一阶逻辑无法区分这一点，所以不影响初等嵌入的成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex