关于满足ab+bc+ca=1的非负实根式不等式下界证明的技术问询

问题：设(a,b,c)为满足(ab+bc+ca=1)的非负实数，证明：
$$\frac{\sqrt{5a+4}}{a+bc}+\frac{\sqrt{5b+4}}{b+ca}+\frac{\sqrt{5c+4}}{c+ab}\ge 8.$$

我尝试用Holder不等式但没成功，比如下面这两个推导：
$$\left(\sum_{cyc}\frac{\sqrt{5a+4}}{a+bc}\right)^{2\cdot\sum_{cyc}(5a+4)}2(a+bc)^2\ge [5a+5b+5c+12]^3. \tag{1}$$
$$\left(\sum_{cyc}\frac{\sqrt{5a+4}}{a+bc}\right)^{2\cdot\sum_{cyc}(5a+4)}2(a+bc)^2(b+c)3\ge \left(\sum_{cyc}(5a+4)(b+c)\right)^3.\tag{2} $$
这两个式子最终都导出了不成立的不等式。

另外一个大难题是等号成立条件：当((a,b,c)=(0,1,1))时取等；当令(a=b\rightarrow 0)时，不等式右边的近似值也是8。

我想请教几个问题：

• 是否有更合适的Holder不等式用法？我知道可能形式会比较繁琐，但如果您有思路欢迎分享。
• 有没有其他更简洁的方法？比如混合变量法、AM-GM不等式或者柯西-施瓦茨不等式等等。
• 我还希望能找到(\frac{\sqrt{5a+4}}{a+bc})的一个好的下界，消去根号后剩下的部分或许能用uvw法简化。

所有想法和评论都欢迎！感谢您的关注！

备注：关于uvw法，这是一种处理对称不等式的常用方法，通过引入变量替换(u=a+b+c)，(v=ab+bc+ca)，(w=abc)，将不等式转化为关于u、v、w的表达式来分析。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Ngoc Khuong Trang