椭圆曲线迹映射的余核的阶是否必为2的幂？
嗨，咱们来一步步拆解这个问题，先把背景再明确下：
- 设 $L/K$ 是数域的二次扩张，$\sigma$ 是伽罗瓦群 $Gal(L/K)$ 的唯一非平凡元
- 对 $K$ 上的椭圆曲线 $E$，定义迹映射 $\text{trace}: E(L) \to E(K)$，把每个点 $P \in E(L)$ 映射到 $P + P^\sigma$
你的问题是：为什么这个迹映射的余核的阶 $#\text{coker}(\text{trace})$ 一定是2的幂？你已经尝试用正合序列和Mordell-Weil定理来分析，但不确定挠子群的比值是不是2的幂，这个思路方向完全没问题，咱们来补全细节：
先从Mordell-Weil群的结构说起
椭圆曲线的Mordell-Weil定理告诉我们：数域上的椭圆曲线有理点群是有限生成交换群，也就是说可以拆成自由阿贝尔群（秩为某个非负整数）加上有限挠子群：
- $E(K) \cong \mathbb{Z}^r \times T$，其中 $r = \text{rank}(E/K)$ 是秩，$T = E(K)_{\text{tors}}$ 是有限挠子群
- 对应的二次扭曲线 $E_D/K$（这里 $D$ 是二次扩张 $L/K$ 的判别式对应的扭参数）也满足 $E_D(K) \cong \mathbb{Z}^{r'} \times T''$，其中 $r' = \text{rank}(E_D/K)$，$T'' = E_D(K)_{\text{tors}}$
- 而对于二次扩张 $L/K$，$E(L)$ 的结构是 $E(L) \cong \mathbb{Z}^{r + r'} \times T'$，这里 $T' = E(L)_{\text{tors}}$，秩的关系 $\text{rank}(E(L)) = r + r'$ 是对的——因为伽罗瓦作用下，$E(L)$ 可以分成 $\sigma$ 作用的不变部分（就是 $E(K)$）和反不变部分（和 $E_D(K)$ 同构），两者的秩加起来就是总秩。
分析迹映射的自由部分和挠子部分
我们把迹映射拆成自由部分和挠子部分分别看：
自由部分的余核
迹映射作用在自由部分上：对于 $E(K)$ 的自由基元素 $x$，$\text{trace}(x) = x + x = 2x$；对于 $E_D(K)$ 的自由基元素 $y$（这类元素满足 $y^\sigma = -y$），$\text{trace}(y) = y + (-y) = 0$。
所以自由部分的映射是 $\mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}^{r'} \to \mathbb{Z}^r$，第一个分量是乘以2，第二个分量是零映射。这个映射的余核就是 $\mathbb{Z}^r / 2\mathbb{Z}^r$，也就是 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$，它的阶是 $2^r$，显然是2的幂。挠子部分的余核
迹映射作用在挠子群 $T' = E(L)_{\text{tors}}$ 上，我们可以把 $T'$ 分解为 $\sigma$ 作用的不变子群 $T'^+$ 和反不变子群 $T'^-$：- $T'^+ = { P \in T' \mid P^\sigma = P } = T = E(K)_{\text{tors}}$
- $T'^- = { P \in T' \mid P^\sigma = -P }$，这部分和 $T'' = E_D(K)_{\text{tors}}$ 同构
迹映射在 $T'^+$ 上是 $P \mapsto P + P = 2P$，在 $T'^-$ 上是 $P \mapsto P + (-P) = 0$，所以迹映射的像在挠子部分是 $2T$。那么挠子部分的余核就是 $T / 2T$，这是一个有限交换群，而有限交换群模2的商群的阶一定是2的幂——因为奇数阶的元素在模2下都是单位元的倍数，只有2-部分的元素会贡献商群的阶数。
合起来看余核的阶
整个迹映射的余核是自由部分余核和挠子部分余核的直积（因为有限生成交换群的余核可以拆成自由部分和挠子部分的余核），两者的阶都是2的幂，乘积自然也是2的幂。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Poitou-Tate
