关于德·芬内蒂定理简短证明的创新性与趣味性技术问询

我之前对这个形式的德·芬内蒂定理一无所知，结果“误打误撞”重新证明了它。这个证明相当简短，只用到了弱收敛理论里的标准结论，下面是证明梗概。我现在有点好奇：这种长度和方法的证明算新颖或者有意思吗？

我感觉这个证明没什么特别突破性的地方，所以觉得应该是标准证法，但一直没找到确切的依据。我查过文献，有的证明比如Hewitt和Savage的论文里的版本，要复杂得多但也更具一般性；像Kallenberg的标准教材里，证明虽然短，但依赖了书里前面铺垫的一大堆引理，我根本没法直接看出核心论证是什么，也说不清它到底有多复杂。

先给出我参考的德·芬内蒂定理形式：
定理：设$E$是一个波兰空间，$(X_1,X_2,\ldots)$是$E$值的可交换随机变量序列。则存在唯一的$E$上的随机概率测度$\mu$，使得对任意$n\in \mathbb{N}$和可测集$A_1,\ldots,A_n \subset E$，有
$$\label{eq1}\tag{1}
\mathbb{P}(X_1\in A_1,\ldots , X_n \in A_n) = \mathbb{E}\left[\mu(A_1) \ldots \mu(A_n)\right].
$$
进一步，经验测度
$$
Z^n = \frac 1n \sum_{i=1}^n \delta_{X_i}
$$
当$n\to \infty$时的弱极限几乎必然存在，且与$\mu$同分布。

证明梗概 #

记波兰空间$X$上的概率测度空间为$\mathcal{M}_1(X)$，装备弱收敛拓扑。要证明经验测度序列$(Z^n)$作为$\mathcal{M}_1(\mathcal{M}_1(E))$的子集是相对紧的，只需对任意$\varepsilon > 0$，找到紧集$K\subset E$，使得对所有$n\in \mathbb{N}$，有$\mathbb{P}(Z^n(E\setminus K) > \varepsilon) < \varepsilon$。

给定$\varepsilon > 0$，存在紧集$K\subset E$满足$\mathbb{P}(X_1 \in E\setminus K) < \varepsilon^2$，因此：
$$
\mathbb{P}(Z^n(E\setminus K) > \varepsilon) = \mathbb{P}\left( \sum_{i=1}^n \mathbf{1}{{X_i \in E\setminus K}} > n\varepsilon \right) \le \frac{1}{n\varepsilon} \sum{i=1}^n \mathbb{P}(X_i \in E\setminus K) < \varepsilon
$$
这里用到了可交换性带来的所有$X_i$边缘分布相同的性质。

假设某个子列（为了简化记号仍记为$Z^{n$）依分布收敛到随机概率测度$\mu$，即$Z}n \implies \mu$。任取$k\in \mathbb{N}$和有界连续函数$f_1,\ldots f_k \colon E \to \mathbb{R}$，则映射$m \mapsto \int f_1 dm \ldots \int f_k dm$是$\mathcal{M}1(E)$上的有界连续泛函，因此：
\begin{align}
\mathbb{E}\left[\int f_1 d\mu \ldots \int f_k d\mu\right]
&= \lim{n\to \infty} \mathbb{E}\left[\int f_1 dZ^n \ldots \int f_k dZ^n\right]\
&=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^k}\sum_{l_1,\ldots l_k=1}^n \mathbb{E}\left[ f_1(X_{l_1}) \ldots f_k(X_{l_k})\right]\
&= \mathbb{E}\left[ f_1(X_1) \ldots f_k(X_k)\right],
\end{align}
最后一步用到了可交换性，以及存在重复下标的求和项数量是$O(n^{{k-1})$这一事实。这说明子列的极限是唯一的，因此$Z}n$依分布收敛到满足式\eqref{eq1}的随机概率测度$\mu$。而$Z^n$的几乎必然收敛性，则来自于一个一般性结论：独立同分布样本的归一化经验测度序列几乎必然收敛到采样的概率测度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter Koepernik