关于Kato local smoothing effect证明中Diracδ函数相关等式的疑问

嘿，这个Diracδ函数的转换其实是利用了分布论里的变量替换规则，我来一步步给你拆解红色部分的等价性：

首先回忆δ函数的核心性质：对于一个光滑、只有孤立零点的函数$g(x)$，分布意义下有
$$\delta(g(x)) = \sum_{x_i: g(x_i)=0} \frac{\delta(x - x_i)}{|g'(x_i)|}$$

我们看左边的$\delta(|\eta|^2 - |\xi|^{2)$，先把模长单独拎出来：令$r=|\xi|$，$s=|\eta|$（显然$r,s\geq0$），那么$|\eta|}2 - |\xi|^2 = s^2 - r^2 = (s-r)(s+r)$。

对于非负的$r,s$，$s^2 - r^2=0$的解只有$s=r$（$s=-r$因为模长非负，没有实际意义）。接下来计算导数：对$s$求导的话，$g'(s) = \frac{d}{ds}(s^2 - r^2) = 2s$，当$s=r$时，$g'(r)=2r = r + r = s + r$（因为$s=r$）。

根据δ函数的替换规则，我们可以得到：
$$\delta(s^2 - r^2) = \frac{\delta(s - r)}{|g'(r)|} = \frac{\delta(s - r)}{s + r}$$

现在把$r=|\xi|$、$s=|\eta|$代回去，两边同时乘以$|\xi|^{1/2}|\eta|{1/2}$，就得到了你看到的红色部分的等式：
$$\delta(|\eta|^2 - |\xi|^2)|\xi|{1/2}|\eta|^{1/2} = \delta(|\eta| - |\xi|)\frac{|\xi|^{1/2}|\eta|{1/2}}{|\xi| + |\eta|}$$

需要注意的是，这个等式是分布意义下的相等，也就是说对任意满足条件的测试函数，两边和测试函数的积分结果相等，而不是普通函数的点态相等——毕竟δ函数本身就是分布，不是常规函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者monotone operator