关于二重积分与其黎曼和之间误差的一阶估计求解

嘿，我来帮你搞定这个二重积分黎曼和的误差一阶估计问题！你之前的计算只考虑了两个对角端点的差值，这其实漏掉了整个边界的贡献，咱们一步步用一元欧拉-麦克劳林公式的推广来推导准确结果。

首先回忆一元函数的情况：对于闭区间[0,1]上连续可微的函数$g(x)$，欧拉-麦克劳林展开的一阶项告诉我们：
$$\int_0^1 g(x)dx - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right) = -\frac{1}{2n}\left(g(1)-g(0)\right) + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
这个公式是我们推广到二元场景的基础。

接下来处理二重积分，先把它拆成累次积分：
$$\int_0^1\int_01 f(x,y)dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y)dx \right) dy$$

第一步：对x方向的内层积分用黎曼和逼近 #

对固定的y，把$f(\cdot,y)$看作一元函数，套用上面的欧拉-麦克劳林公式：
$$\int_0^1 f(x,y)dx = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}, y\right) + \frac{1}{2n}\left(f(0,y)-f(1,y)\right) + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
把这个结果代入累次积分，得到：
$$\int_0^1\int_01 f(x,y)dxdy = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \int_0^1 f\left(\frac{i}{n}, y\right)dy + \frac{1}{2n}\int_0^1 \left(f(0,y)-f(1,y)\right)dy + o\left(\frac{1}{n}\right)$$

第二步：对y方向的积分再用黎曼和逼近 #

现在对每个$\int_0^1 f\left(\frac{i}{n}, y\right)dy$，再次套用一元欧拉-麦克劳林公式：
$$\int_0^1 f\left(\frac{i}{n}, y\right)dy = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) + \frac{1}{2n}\left(f\left(\frac{i}{n},0\right)-f\left(\frac{i}{n},1\right)\right) + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
把这个代入上一步的式子，整理后得到：
$$
\begin{align*}
\int_0^1\int_01 f(x,y)dxdy &= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}n\sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right) + \frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}n \left(f\left(\frac{i}{n},0\right)-f\left(\frac{i}{n},1\right)\right) \
&\quad + \frac{1}{2n}\int_0^1 \left(f(0,y)-f(1,y)\right)dy + o\left(\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
$$

第三步：整理误差项并取极限 #

把黎曼和移到左边，得到误差表达式：
$$
\begin{align*}
\int_0^1\int_01 f(x,y)dxdy - \frac{1}{n^{2}\sum_{i,j=1}}n f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right) &= \frac{1}{2n}\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n},0\right) - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n},1\right) \right] \
&\quad + \frac{1}{2n}\left[ \int_0^1 f(0,y)dy - \int_0^1 f(1,y)dy \right] + o\left(\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
$$
当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n},0\right)$收敛到$\int_0^1 f(x,0)dx$，同理$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n},1\right)$收敛到$\int_0^1 f(x,1)dx$。把这些极限代入后，两边乘以$n$再取极限：

$$
\lim_{n\to\infty} n\left[ \int_0^1\int_01 f(x,y)dxdy - \frac{1}{n^{2}\sum_{i,j=1}}n f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right) \right] = \frac{1}{2}\left( \int_0^1 [f(x,0)-f(x,1)]dx + \int_0^1 [f(0,y)-f(1,y)]dy \right)
$$

补充说明 #

这个结果的核心是：二元黎曼和的一阶误差来自于整个正方形区域的四条边界的函数值积分，而不是仅仅两个对角端点。只有当$f$在边界上满足特殊条件（比如$f(x,0)=f(x,1)$且$f(0,y)=f(1,y)$）时，这个极限才会为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mumujun