关于利用长正合序列推导实格拉斯曼流形第一、第二同伦群的技术问询

我想搞明白怎么借助纤维丛 $F\rightarrow E \rightarrow B$ 的同伦群长正合序列
$$
\pi_n(F)\rightarrow\pi_n(E)\rightarrow\pi_n(B)\rightarrow\pi_{n-1}(F)
$$
来计算同伦群。为了让问题更具体，我把注意力放在实格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}(n,m) = O(n+m)/O(n)\times O(m)$ 的第一、第二同伦群上——相关的正合序列如下：
$$
\pi_2[O(n+m)] \rightarrow\pi_2[\operatorname{Gr}(n,m)] \rightarrow\pi_1[O(n)\times O(m)] \rightarrow\pi_1[O(n+m)] \rightarrow\pi_1[\operatorname{Gr}(n,m)] \rightarrow\pi_0[O(n)\times O(m)]
$$

已知当 $N\geq 3$ 时，$\pi_2[O(N)] = 0$，$\pi_1[O(N)] = \mathbb{Z}_2$，$\pi_0[O(N)] = \mathbb{Z}_2$，所以当 $n,m\geq 3$ 时，上述序列可以简化为：
$$
0 \rightarrow\pi_2[\operatorname{Gr}(n,m)] \rightarrow\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \rightarrow\mathbb{Z}_2 \rightarrow\pi_1[\operatorname{Gr}(n,m)] \rightarrow\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2
$$

问题1 #

从序列的前半段 $0 \rightarrow\pi_2[\operatorname{Gr}(n,m)] \rightarrow\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$，我一开始误以为 $\pi_2[\operatorname{Gr}(n,m)] = \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$，但正确结果其实是 $\pi_2[\operatorname{Gr}(n,m)] = \mathbb{Z}_2$。这里我哪里出错了？怎么通过这个正合序列得到正确的结果呢？

问题2 #

能不能从这个简化后的正合序列推导出 $\pi_1[\operatorname{Gr}(n,m)]$ 的结果（已知它实际是 $\mathbb{Z}_2$）？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michał Jan