图论中两顶点间两条不同walk的并是否含cycle的命题验证及严谨说明请求

嘿，我来帮你把这个图论问题掰明白！首先结合你教授给出的定义，先明确核心问题：你问的「连接两个顶点的两条不同walk的并包含一个cycle」这个命题，并不是普遍成立的——我先给你一个反例，再聊聊什么时候这个结论才成立。

首先先重申你教授给出的关键定义，方便我们统一语境：

A walk in graph $\ (G\ )$ is a sequence of vertices $\ (v_0, v_1, v_2, \ldots, v_n\ ) $ such that $\ (v_i, v_{i+1}\ ) $is an edge.
A walk is called a closed walk if it starts and ends at the same vertex.
A closed walk is called a cycle if no vertex other than the first one appears more than once.

一、原命题的反例（证明命题为假） #

我们构造一个简单的图：顶点集为 ${u, a, b, v}$，边集为 ${(u,a), (a,b), (b,v)}$，也就是一条简单路径 $u-a-b-v$。

现在取两条连接 $u$ 和 $v$ 的不同walk：

• Walk 1：$u \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow v$（这是一条简单路径，没有重复顶点）
• Walk 2：$u \rightarrow a \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow v$（这条walk在顶点 $a$ 处重复了一次，是合法的walk，但和Walk 1明显不同）

现在看这两条walk的并集：包含的顶点还是 ${u,a,b,v}$，包含的边还是 ${(u,a), (a,b), (b,v)}$——整个并集就是原来的简单路径，完全没有cycle（因为cycle需要是起点终点相同且中间顶点不重复的闭walk，这里根本无法形成这样的结构）。

这个例子直接说明：存在两条不同的walk，它们的并集不含cycle，所以原命题是假的。

二、限定条件下的真命题：两条不同的简单路径的并含cycle #

如果我们把条件收紧，限定两条walk是简单路径（即walk中没有重复顶点的特殊情况），那「连接两顶点的两条不同简单路径的并包含一个cycle」这个命题就是真的，下面给你严谨证明：

假设 $P_1$ 和 $P_2$ 是连接顶点 $s$ 和 $t$ 的两条不同的简单路径。因为它们不同，所以必然存在某个位置，两条路径出现分叉：

1. 找到最长的公共前缀：从起点 $s$ 出发，找到第一个分叉的顶点 $x$——也就是说，$s$ 到 $x$ 的部分是两条路径共有的，但 $P_1$ 接下来走到顶点 $y$，$P_2$ 接下来走到顶点 $z$，且 $y \neq z$。
2. 再从 $t$ 往回找，找到第一个在两条路径中再次汇合的顶点 $w$——也就是从 $x$ 之后，$P_1$ 走到 $w$，$P_2$ 也走到 $w$，且在 $x$ 到 $w$ 的这段里，两条路径没有其他公共顶点。

此时，我们可以从 $x$ 出发，沿着 $P_1$ 走到 $w$，再沿着 $P_2$ 的反向走回 $x$，形成一个闭walk：$x \rightarrow y \rightarrow \dots \rightarrow w \rightarrow \dots \rightarrow z \rightarrow x$。因为 $P_1$ 和 $P_2$ 都是简单路径，这段闭walk里除了 $x$ 之外没有重复顶点，完全符合你教授定义的cycle，且这个cycle显然包含在 $P_1 \cup P_2$ 中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SYT