关于生成函数$\frac{x}{1-3x}$对应序列推导的疑问

我最近在用一本书学习生成函数，这个概念对我来说有点绕。书里有个例子：已知$\sum_{n \geq 0}f_nx^n = \frac{x}{1-3x}$，求序列$f_n$（既然是组合学相关的内容，应该是整数序列）。

书里的解法说，$\frac{x}{1-3x}$基于$\sum_{n \geq 0}3^nxn$，“理所当然”地得出$f_n = 3^{n-1}$，理由是多了一个$x$因子。

我自己试着推导了一遍，过程是这样的：
$$\sum_{n \geq 0}f_nx^n = \frac{x}{1-3x} = x\frac{1}{1-3x} = x\sum_{n \geq 0}3^nxn = \sum_{n \geq 0}3^nx{n+1}$$

但这里我遇到了问题：如果要把求和里的$x^{{n+1}$改成$x}n$，就得调整求和的起始下标。我一开始错误地想把$\sum_{n \geq 0}3^nx{n+1}$转换成$\sum_{n \geq 0}3^{n-1}x{n}$，但对比两个展开式就会发现明显不对：

• $\sum_{n \geq 0}3^nx{n+1}$展开后是：$x + 3x^2 + 9x^3 + ...$
• 而$\sum_{n \geq 0}3^{n-1}x{n}$展开后是：$\frac{1}{3} + x + 3x^2 + ...$

这完全改变了求和的结果，显然起始下标应该从$n\geq1$开始才对？

而且我把$f_n = 3^{n-1}$代入原求和式$\sum_{n \geq 0}f_nx^n$的话，得到的是：
$$ \sum_{n \geq 0}3^{n-1}xn = \frac{1}{3}\sum_{n \geq 0}3^nxn = \frac{1}{3}*\frac{1}{1-3x}$$
这和原式$\frac{x}{1-3x}$根本不相等。我还试着换了种方式推导：
$$\sum_{n \geq 0}3^{n-1}xn = \frac{1}{3} + \sum_{n \geq 1}3^{n}x{n+1} = x\frac{1}{1-3x} + \frac{1}{3}$$
结果还是不对。

我肯定哪里弄错了，或者和书里的假设不一样？有没有懂生成函数的大佬能帮我指出问题出在哪？谢谢了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LlamasAreFun